Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=4$, $AD=6$, $A{A}^{\prime }=8$ (tham khảo như hình bên dưới).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;6;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$, $B^{\prime }(4;0;8)$, $D^{\prime }(0;6;8)$, $C^{\prime }(4;6;8)$.
a) $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là mặt phẳng $z=8$; hình chiếu của $B$ lên mặt này là $B^{\prime }$, nên góc giữa $B{D}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\widehat{B{D}^{\prime }{B}^{\prime }}$ → Đúng.
b) $(AD{D}^{\prime })$ là mặt $x=0$; khoảng cách từ $B$ bằng $AB=4\ne 6$ → Sai.
c) $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12$, chiều cao từ $B$ bằng $8$, $V=\frac{12\cdot 8}{3}=32\ne 96$ → Sai.
d) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;6;8)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(4;0;8)$, $\vec{n}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(48;32;-24)$, $|\vec{n}|=8\sqrt{61}$; lấy $\overrightarrow{DA}=(0;-6;0)$, $d=\frac{192}{8\sqrt{61}}=\frac{24\sqrt{61}}{61}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ (mặt $z=8$) là $B^{\prime }$, nên góc giữa $B{D}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $\widehat{B{D}^{\prime }{B}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(AD{D}^{\prime })$ là mặt $x=0$; khoảng cách từ $B(4;0;0)$ bằng $AB=4\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=12$, chiều cao $8$, $V=\frac{12\cdot 8}{3}=32\ne 96$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(48;32;-24)$, $|\vec{n}|=8\sqrt{61}$, $d=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \vec{n}|}{8\sqrt{61}}=\frac{192}{8\sqrt{61}}=\frac{24\sqrt{61}}{61}$.