Cho hàm số $f(x)=x^3+3a{x}^2+bx-c$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3+3a{x}^2+bx-c$.
a) $f(1)=1+3a+b-c$, không phải $3a+b+c+1$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=3x^2+6ax+b$, không phải $3x^2+3ax+b$ → sai.
c) Từ $f(1)+2=f^{\prime }(1)$: $1+3a+b-c+2=3+6a+b\Rightarrow c=-6a$. Đặt $g(x)=f(x)+2-f^{\prime }(x)=x^3+(3a-3)x^2+(b-2ab)x+(6a+2-b)$. Điều kiện $g(x)\ge 0\forall x\ge 0$ và $g(1)=0$ (do $f(1)+2=f^{\prime }(1)$) nên $x=1$ là nghiệm kép: $g(1)=a(9-2b)=0$ và $g^{\prime }(1)=b-3+6a-2ab=0$.
- Nếu $a=0$ (suy ra $c=0$): $g^{\prime }(1)=b-3=0\Rightarrow b=3$. Khi đó $g(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1{)}^3\ge 0\forall x\ge 0$: thỏa mãn.
- Nếu $a\ne 0$: $b=\frac{9}{2}$, khi đó $a=\frac{1}{2}$, $c=-3$ và $g(x)=x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$, âm trên $(0;\frac{1}{2})$: loại.
Vậy $b=3$, không phải $b=6$ → c) sai.
d) Với nghiệm duy nhất $a=0,b=3,c=0$: $f^{\prime }(x)=3x^2+3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1+3a+b-c=3a+b-c+1$, khác $3a+b+c+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2+6ax+b$, hệ số phải là $6a$ chứ không phải $3a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ các điều kiện suy ra $c=-6a$, $g(x)=f(x)+2-f^{\prime }(x)$ có nghiệm kép tại $x=1$: $a(9-2b)=0$, $b-3+6a-2ab=0$. Nghiệm hợp lệ duy nhất là $a=0,b=3,c=0$ với $g(x)=(x-1{)}^3\ge 0\forall x\ge 0$. Vậy $b=3\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0,b=3,c=0$ (bộ duy nhất thỏa giả thiết) ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$.