Cho hàm số $f(x)=\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right)$. Biết rằng $T=f^{\prime }(2)+f^{\prime }(3)+\cdots +f^{\prime }(2019)+f^{\prime }(2020)=\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của $2a-b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\ln (x^2-1)-2\ln x$ với $x>1$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2-1}-\frac{2}{x}=\frac{2x^2-2(x^2-1)}{x(x^2-1)}=\frac{2}{x(x-1)(x+1)}$.

Phân tích: $\frac{2}{n(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n(n+1)}=\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$.

Do đó
$$T=\sum _{n=2}^{2020}{f}^{\prime }(n)=\left(1-\frac{1}{2020}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2021}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020\cdot 2021}.$$

Với $2020\cdot 2021=4082420$:
$$T=\frac{4082420-2}{8164840}=\frac{4082418}{8164840}=\frac{2041209}{4082420}.$$
Kiểm tra nguyên tố cùng nhau: $a=2041209$ lẻ, không chia hết cho $5$; theo modulo $43$ và $47$ (vì $2021=43\cdot 47$) ta có $a\equiv -2(\mathrm{mod}43)$ và $a\equiv -2(\mathrm{mod}47)$, nên $\gcd (a,b)=1$.

Vậy $2a-b=2\cdot 2041209-4082420=4082418-4082420=-2$.

Đáp án D.