Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$ với $M$ là trung điểm cạnh $SD$. Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ bằng

Gọi $O$, $N$ lần lượt là trung điểm đoạn $AC$ và $MD$. Suy ra $ON//BM$.
Khi đó Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ là Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $ON$ hay là $\left|\cos NOC\right|$.
Ta có $<table><tbody><tr><td>CD\perp AD</td></tr><tr><td>CD\perp SA</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp SD$.
Trong $\Delta CDN$ vuông tại $D$ ta có $CD=a$; $DN=\frac{1}{4}SD=\frac{1}{4}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$;
$CN=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2+a^2}=\sqrt{\frac{18a^2}{16}}=\frac{3\sqrt{2}a}{4}$.
Trong $\Delta SBD$ ta có $SD=SB=BD=a\sqrt{2}$ nên $BM=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow ON=\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Trong $\Delta OCN$ ta có $OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lý cos ta có
$$\cos NOC=\frac{O{N}^2+O{C}^2-C{N}^2}{2.ON.OC}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}a}{4}\right)}^2}{2.\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2\sqrt{12}}{4}}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.$$
Suy ra Co-sin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ bằng là
$$\cos (AC,DN)=\left|\cos NOC\right|=\left|-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$