Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Trả lời: -25. Phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Đường tròn này qua $A,B,C$ nên $$\{\begin{array}{l}1+4-2a-4b+c=0\\ 25+4-10a-4b+c=0\\ 1+9-2a+6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{1}{2}\\ c=-1\end{array}$$ Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-6x+y-1=0$. $$\Rightarrow a+4b+26c=3+4.\left(-\frac{1}{2}\right)+26.(-1)=-25$$ (Lưu ý: trang lời giải in nhầm đề là 'Tính giá trị $6a+4b+c$' nhưng phép tính thực hiện đúng với đề ở trang câu hỏi là $a+4b+26c=-25$.)

a) Ta có $\{\begin{array}{l}-2a=-8\\ -2b=-6\\ c=21\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\\ c=21\end{array}$ Tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=2$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Ta có $\overrightarrow{SI}=(3;4)\Rightarrow SI=\sqrt{3^2+4^2}=5>R=2$, suy ra S nằm ngoài đường tròn (C)
Kẻ đường thẳng qua S,I cắt đường tròn (C) tại 2 điểm B, M như hình vẽ.
$IM=R=2$.
Với mọi điểm A thuộc đường tròn (C) không trùng B, M. Xét tam giác SAM có $\widehat{SAM}>\widehat{BAM}=90^{\circ }$ nên $\widehat{SAM}$ là góc lớn nhất trong tam giác SAM do đó $SM>SA$
Do đó khoảng cách xa nhất từ anh shipper đến vị trí giao đơn hàng đầu tiên là $SM=SI+IM=5+2=7$, khi đó 3 điểm $S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(x_0-1;y_0+1\right)$.
Lại có $\overrightarrow{SM}=\frac{SM}{SI}.\overrightarrow{SI}=\frac{7}{5}\overrightarrow{SI}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0-1=\frac{7}{5}.3\\ y_0+1=\frac{7}{5}.4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{26}{5}\\ y_0=\frac{23}{5}\end{array}$. Vậy điểm $M\left(\frac{26}{5};\frac{23}{5}\right)$.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}-2a=-8\\ -2b=-6\\ c=21\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\\ c=21\end{array}$ Tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=2$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Ta có $\overrightarrow{SI}=(3;4)\Rightarrow SI=\sqrt{3^2+4^2}=5>R=2$, suy ra S nằm ngoài đường tròn (C)
Kẻ đường thẳng qua S,I cắt đường tròn (C) tại 2 điểm B, M như hình vẽ.
$IM=R=2$.
Với mọi điểm A thuộc đường tròn (C) không trùng B, M. Xét tam giác SAM có $\widehat{SAM}>\widehat{BAM}=90^{\circ }$ nên $\widehat{SAM}$ là góc lớn nhất trong tam giác SAM do đó $SM>SA$
Do đó khoảng cách xa nhất từ anh shipper đến vị trí giao đơn hàng đầu tiên là $SM=SI+IM=5+2=7$, khi đó 3 điểm $S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có $\overrightarrow{SM}=\left(x_0-1;y_0+1\right)$.
Lại có $\overrightarrow{SM}=\frac{SM}{SI}.\overrightarrow{SI}=\frac{7}{5}\overrightarrow{SI}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0-1=\frac{7}{5}.3\\ y_0+1=\frac{7}{5}.4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{26}{5}\\ y_0=\frac{23}{5}\end{array}$. Vậy điểm $M\left(\frac{26}{5};\frac{23}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I(3;3)$ bán kính $R=2$. Đường thẳng đi qua $A(-3;2)$ và $B(2;7)$ có hệ số góc $\frac{7-2}{2-(-3)}=1$, phương trình $y=x+5$ hay $x-y+5=0$. Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng này là $d=\frac{|3-3+5|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\approx 3,5355$. Giá trị nhỏ nhất của $MN$ là $d-R=\frac{5}{\sqrt{2}}-2\approx 1,5355\approx 1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là tâm nửa đường tròn, $IA=x$, $AB=h$. Vì $B$ thuộc nửa đường tròn đường kính $MN=10$ nên $x^2+h^2=25$. Hình chữ nhật $ABCD$ có $C$ thuộc nửa đường tròn với cùng chiều cao $h$, nên $I{D}^2+h^2=25\Rightarrow ID=x$ (đối xứng qua $I$). Suy ra $AD=IA+ID=2x$. Chu vi $2(2x+h)=22\Rightarrow h=11-2x$. Thay vào: $x^2+(11-2x{)}^2=25\Rightarrow 5x^2-44x+96=0\Rightarrow x=\frac{44\pm 4}{10}$, tức $x=4,8$ hoặc $x=4$. Với $x=4$ thì $IA$ nguyên (bị loại); với $x=4,8$ thì $h=1,4>0$ thỏa mãn. Vậy $IA=4,8$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):x^2+y^2+4x+2y-4=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=4,-2b=2,c=-4$, suyra tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+1+4}=3$.

b) Đường thẳng qua $I(-2;-1)$ và $O(0;0)$ có VTCP $\vec{u}=(2;1)$ (hoặc $(-2;-1)$), phương trình: $1(x-0)-2(y-0)=0$, tức $x-2y=0$.

c) Vì $O$ nằm trên Δ, viết Δ: $kx-y=0$ (không xét dạng $x=0$ vì khi đó d(I,Δ)=2, cho $AB=2\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}\ne 4$). Khoảng cách từ $I(-2;-1)$ đến Δ: $d=\frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$. Ta có $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=4\Rightarrow R^2-d^2=4\Rightarrow d^2=5$. Suy ra $\frac{(2k-1{)}^2}{k^2+1}=5\iff 4k^2-4k+1=5k^2+5\iff k^2+4k+4=0\iff (k+2{)}^2=0\iff k=-2$. Vậy $\Delta :-2x-y=0$, tức $2x+y=0$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|-4-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, $AB=2\sqrt{9-5}=4$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phủ sóng là hình tròn tâm $I(-5;4)$ bán kính $R=6$ km.
a) Sai. Điểm xa nhất nhận được sóng cách $I$ đúng bằng bán kính phủ sóng $R=6$ km, không phải 12 km.
b) Đúng. Đường tròn tâm $I(-5;4)$, bán kính 6: $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=36$.
c) Sai. $OI=\sqrt{(-5{)}^2+4^2}=\sqrt{41}\approx 6,40>6$, nên gốc $O$ nằm ngoài vùng phủ sóng.
d) Đúng. $AI=\sqrt{(2+5{)}^2+(-6-4{)}^2}=\sqrt{149}\approx 12,21>6$ nên $A$ ngoài vùng phủ sóng. Người đi theo đường thẳng từ $A$ đến $O$, phương trình đường thẳng $AO$: $3x+y=0$. Khoảng cách từ $I$ đến đường này là $d=\frac{|3(-5)+4|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3,48<6$, nên đường thẳng cắt vùng phủ sóng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống đường $AO$: $AH=\sqrt{A{I}^2-d^2}=\sqrt{149-\frac{121}{10}}=\sqrt{136,9}\approx 11,70$ km. Điểm đầu tiên trên đường đi mà người đó nhận được sóng cách $H$ một đoạn $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{36-\frac{121}{10}}=\sqrt{23,9}\approx 4,89$ km (về phía $A$). Vậy quãng đường ngắn nhất là $\sqrt{136,9}-\sqrt{23,9}\approx 6,81$ km, đúng như đề bài.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điểm xa nhất nhận sóng cách $I$ đúng bằng bán kính 6 km, không phải 12 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-5;4)$ bán kính 6: $(x+5{)}^2+(y-4{)}^2=36$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$OI=\sqrt{41}\approx 6,40>6$ nên $O$ nằm ngoài vùng phủ sóng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AI=\sqrt{149}\approx 12,21>6$ nên $A$ ngoài vùng phủ sóng. Đường thẳng $AO$: $3x+y=0$; $d(I,AO)=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3,48<6$ nên đường thẳng cắt vùng phủ sóng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $I$: $AH=\sqrt{149-\frac{121}{10}}=\sqrt{136,9}\approx 11,70$ km. Điểm vào vùng phủ sóng gần $A$ nhất cách $H$ một đoạn $\sqrt{36-\frac{121}{10}}=\sqrt{23,9}\approx 4,89$ km. Quãng đường ngắn nhất: $\sqrt{136,9}-\sqrt{23,9}\approx 6,81$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Thay tọa độ ba đỉnh:
- $A(10;19)$: $10D+19E+F=-461$
- $B(15;-16)$: $15D-16E+F=-481$
- $C(5;4)$: $5D+4E+F=-41$

Lấy phương trình của $A$ trừ của $C$: $5D+15E=-420\Rightarrow D+3E=-84$. Lấy phương trình của $B$ trừ của $C$: $10D-20E=-440\Rightarrow D-2E=-44$. Trừ hai phương trình: $5E=-40\Rightarrow E=-8$, suy ra $D=-60$, và $F=-41-5D-4E=-41+300+32=291$.

Vậy đường tròn: $x^2+y^2-60x-8y+291=0$, có tâm $I(30;4)$ và bán kính $R=\sqrt{30^2+4^2-291}=\sqrt{625}=25$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(10-30{)}^2+(19-4{)}^2=400+225=625$; $I{B}^2=(15-30{)}^2+(-16-4{)}^2=225+400=625$; $I{C}^2=(5-30{)}^2+(4-4{)}^2=625$. Cả ba đỉnh đều thuộc đường tròn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a,b)$. Vì $I\in d:x-6y-10=0$ nên $a=6b+10$. Đường tròn tiếp xúc với cả $d_1$ và $d_2$ nên khoảng cách từ $I$ đến hai đường thẳng bằng nhau: $$\frac{|3a+4b+5|}{5}=\frac{|4a-3b-5|}{5}.$$ Thay $a=6b+10$: $3a+4b+5=22b+35$ và $4a-3b-5=21b+35$. Do đó $|22b+35|=|21b+35|$, tức $22b+35=21b+35\Rightarrow b=0$, hoặc $22b+35=-(21b+35)\Rightarrow 43b=-70\Rightarrow b=-\frac{70}{43}<0$ (loại vì tung độ tâm không âm). Vậy $b=0$, $a=10$, tâm $I(10;0)$. Bán kính $R=\frac{|3\cdot 10+4\cdot 0+5|}{5}=\frac{35}{5}=7$. Phương trình đường tròn: $(x-10{)}^2+y^2=49$. Kiểm tra: khoảng cách từ $I(10;0)$ đến $d_2$ là $\frac{|40-0-5|}{5}=7$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ có $a=1$, $b=-2(m+2)$, $c=4m$. Tâm $I(m+2;-2m)$, $R^2=(m+2{)}^2+(2m{)}^2-(19m-6)=m^2+4m+4+4m^2-19m+6=5m^2-15m+10=5(m-1)(m-2)$. Phương trình là đường tròn khi $R^2>0\iff (m-1)(m-2)>0\iff m<1$ hoặc $m>2$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn: $x^2+y^2-6x+2y+6=0\iff (x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$, tâm $I(3;-1)$, bán kính $R=2$.
a) Đúng: tâm $I(3;-1)$, $R=2$.
b) Đúng: $IA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2}=2=R$ nên $A$ thuộc đường tròn.
c) Sai: $\overrightarrow{IA}=(-2;0)$, tiếp tuyến tại $A$ có phương trình $-2(x-1)+0(y+1)=0\iff x=1$, không phải $x+1=0$.
d) Đúng: Gọi $P$ thỏa $2\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $P=\frac{2A+B}{3}=\left(\frac{2\cdot 1-2}{3};\frac{2\cdot (-1)+11}{3}\right)=(0;3)$. Với mọi $M$: $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MP}$, nên $\min \left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3d\left(P,(C)\right)$. Ta có $IP=\sqrt{(0-3{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R=2$, do đó $d\left(P,(C)\right)=5-2=3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $3\cdot 3=9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$ nên tâm $I(3;-1)$, bán kính $R=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{(1-3{)}^2+(-1+1{)}^2}=2=R$ nên $A$ thuộc đường tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{IA}=(-2;0)$, phương trình tiếp tuyến: $-2(x-1)=0\iff x=1$, không phải $x+1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$ thỏa $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $P=\frac{2A+B}{3}=(0;3)$. Khi đó $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MP}$, nên $\min \left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3d\left(P,(C)\right)$. Ta có $IP=\sqrt{(0-3{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R=2$, do đó $d\left(P,(C)\right)=5-2=3$ và giá trị nhỏ nhất bằng $3\cdot 3=9$: Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $4x+y-12=0$ tại $B(2;4)$ nên tâm $I$ nằm trên đường thẳng qua $B$ vuông góc với đường thẳng đã cho, tức là trên đường thẳng có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến $(4;1)$ của đường thẳng. Vậy $I=(2+4t;4+t)$ với $t\ne 0$.

Vì $A$ và $B$ cùng thuộc đường tròn nên $IA=IB$:
$$I{A}^2=(-6-2-4t{)}^2+(2-4-t{)}^2=(8+4t{)}^2+(2+t{)}^2=68+68t+17t^2,$$
$$I{B}^2=(4t{)}^2+t^2=17t^2.$$
Suy ra $68+68t+17t^2=17t^2\Rightarrow 68t=-68\Rightarrow t=-1$.

Do đó $I=(2-4;4-1)=(-2;3)$ và bán kính:
$$R^2=I{B}^2=4\cdot (-1{)}^2+(-1{)}^2=17.$$

Kiểm tra: $I{A}^2=(-6+2{)}^2+(2-3{)}^2=16+1=17=R^2$ ✓; khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $4x+y-12=0$ là $\frac{|4\cdot (-2)+3-12|}{\sqrt{17}}=\frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}=R$ ✓.

Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=17$, hay dạng khai triển $x^2+y^2+4x-6y-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ thuộc $d:x+y-1=0$ nên có dạng $I(a;1-a)$. Vì đường tròn qua $A(6;2),B(-1;3)$ nên $IA=IB$: $(a-6{)}^2+(1-a-2{)}^2=(a+1{)}^2+(1-a-3{)}^2$, tức $(a-6{)}^2+(a+1{)}^2=(a+1{)}^2+(a+2{)}^2$, suy ra $(a-6{)}^2=(a+2{)}^2\Rightarrow a-6=-(a+2)\Rightarrow a=2$. Vậy $I(2;-1)$, $R^2=I{A}^2=(6-2{)}^2+(2+1{)}^2=16+9=25$. Phương trình: $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(2;-1)$ nằm ở góc phần tư thứ IV và đường tròn tiếp xúc cả hai trục nên tâm $I(a;b)$ với $a=R>0$, $b=-R<0$, tức $I(R;-R)$ → (a) Đúng. Khoảng cách $IA=R$: $(R-2{)}^2+(-R+1{)}^2=R^2\iff (R-2{)}^2+(R-1{)}^2=R^2$ → (b) Đúng. Rút gọn: $R^2-4R+4+R^2-2R+1=R^2\iff R^2-6R+5=0\iff R=1$ hoặc $R=5$, cả hai đều thỏa $R>0$ → có 2 đường tròn → (c) Đúng. Tổng bán kính $=1+5=6\ne 5$ → (d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(2;-1) thuộc góc phần tư IV, đường tròn tiếp xúc hai trục nên tâm $I(R;-R)$ với $R>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=R\iff (R-2{)}^2+(R-1{)}^2=R^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R^2-6R+5=0\iff R=1$ hoặc $R=5$: hai đường tròn thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bán kính $=1+5=6\ne 5$.

a) $R=d(I;\Delta )=\frac{\left|2.3+3-3\right|}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$
Vậy phương trình đường tròn (C) là: $(x-3{)}^2+(y+3{)}^2=\frac{36}{5}$

b) $(C)$ có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1+9-5}=\sqrt{5}$, $d:x+2y+m=0$.
$d$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi:
$d(I,d)=R\iff \frac{\left|-1+6+m\right|}{\sqrt{1+4}}=\sqrt{5}\iff \left|m+5\right|=5$
$\iff \left[\begin{array}{c}m+5=-5\\ m+5=5\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}m=-10\Rightarrow d:x+2y-10=0\\ m=0\Rightarrow d:x+2y=0\end{array}\right]$

a) $R=d\left(I;\Delta \right)=\frac{\left|-1-4-7\right|}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Vậy phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{5}$

b) Đường tròn (C) có tâm $I\left(2;1\right),R=5$ và tiếp tuyến có dạng $\Delta :4x+3y+c=0(c\ne 14)$.
Ta có $R=d\left[I;\Delta \right]\iff \frac{\left|c+11\right|}{5}=5\iff \{\begin{array}{l}c=14(l)\\ c=-36\end{array}$.
Vậy pttt là $\Delta :4x+3y-36=0(c\ne 14)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát sóng: đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=3$ km.
a) Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$. Đúng.
b) Đường đi qua $M(-4;6)$ và $N(3;-1)$ có VTCP $\overrightarrow{MN}=(7;-7)\sim (1;-1)$. Phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N(3;-1)$ với VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên đúng. Đúng.
c) Thay vào đường tròn: $(5-t{)}^2+(t-2{)}^2=9\iff t^2-7t+10=0\iff t=2$ hoặc $t=5$. Anh Khoa xuất phát từ $M$ ứng với $t=7$ (vì $x=3-7=-4,y=-1+7=6$) và di chuyển về $N$ ($t$ giảm), nên vị trí đầu tiên vào vùng phủ sóng là $t=5$: điểm $(3-5;-1+5)=(-2;4)$. Đúng.
d) Đường thẳng $MN$: $x+y-2=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $MN$: $d=\frac{|-2+1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km $<3$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km. Sai.
Đối chiếu đáp án mã đề 102: DDDS — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-2;1)$ bán kính $3$: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(-4;6),N(3;-1)$ có VTCP $(1;-1)$; phương trình $x=3-t,y=-1+t$ đi qua $N$ và có VTCP $(-1;1)$ cùng phương, nên mô tả đúng đường đi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số vào đường tròn được $t=2$ hoặc $t=5$; xuất phát từ $M$ ($t=7$) di chuyển về $N$, vị trí đầu tiên là $t=5$ tức $(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng MN: $x+y-2=0$; $d(I,MN)=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,12$ km, không phải $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Đĩa được ném đi theo tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại $M(4;4)$. Đường tròn $(C):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ có tâm $I(3;1)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(4-3;4-1)=(1;3)$. Vì $M$ thuộc đường tròn $((4-3{)}^2+(4-1{)}^2=1+9=10)$, tiếp tuyến tại $M$ có VTPT là $\overrightarrow{IM}=(1;3)$, phương trình: $1(x-4)+3(y-4)=0\iff x+3y-16=0$. Vậy $a=1$, $c=-16$, nên $a-c=1-(-16)=17$, trùng với đáp án nguồn.

a) Đường tròn $(C)$ có tâm $A$ và đi qua $B$ nên bán kính $R=AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
Phương trình của đường tròn là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$.

b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên $\Delta$ có một VTPT $\overrightarrow{AB}=(2;1)\Rightarrow$ phương trình $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$\iff d(A,\Delta )=R\iff \frac{\left|2.1+(-2)+c\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\iff |c|=5\iff \left[\begin{array}{c}c=5\\ c=-5\end{array}\right]$
Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm: $2x+y+5=0;2x+y-5=0$.

c) Gọi phương trình chính tắc của Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với $a>0;b>0$.
- Hypebol có tiêu điểm $F(5;0)$ suy ra $c=5$.
- Hypebol đi qua điểm $M(4;0)$ suy ra $a=4$.
- $b^2=c^2-a^2=9$ (Đúng 2 trong 4 ý cho 0,25).
Vậy phương trình chính tắc của $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II (mã đề 101). a) Đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính 3 có phương trình $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$, khác $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ nên Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(-7;7)$ cùng phương với VTCP $(1;-1)$, đường đi qua $A(4;-2)$ nên phương trình tham số $x=4+t,y=-2-t$ là Đúng. c) Điểm trên đường đi $P(t)=(4-t;-2+t)$; có sóng khi $(6-t{)}^2+(t-3{)}^2=9\iff t^2-9t+18=0\iff t=3$ hoặc $t=6$. Vị trí đầu tiên $t=3$ là $P(1;1)$, không phải $M(-2;4)$ (ứng với $t=6$) nên Sai. d) Đường thẳng AB: $x+y-2=0$; $d(I,AB)=\frac{|-2+1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}km$ nên Đúng. Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng khớp đáp án SDSD của mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(-2;1)$, bán kính 3: $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$, không phải $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-7;7)$ cùng phương VTCP $(1;-1)$, đường đi qua $A(4;-2)$ nên $x=4+t,y=-2-t$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $P(t)=(4-t;-2+t)$ vào $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$ được $t^2-9t+18=0\Rightarrow t=3$ hoặc $t=6$; vị trí đầu tiên là $P(1;1)$, không phải $M(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB: $x+y-2=0$; $d(I,AB)=\frac{|-2+1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}km$.