Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1,-2)$, $B(3,-1)$, $M(4;0)$, $F(5;0)$.

a) Viết phương trình đường tròn $(C)$ nhận $A$ làm tâm và đi qua $B$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $AB$.

c) Lập phương trình chính tắc của Hypebol, biết Hypebol đi qua điểm $M$ và nhận $F$ làm tiêu điểm.

a) Đường tròn $(C)$ có tâm $A$ và đi qua $B$ nên bán kính $R=AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
Phương trình của đường tròn là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$.

b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên $\Delta$ có một VTPT $\overrightarrow{AB}=(2;1)\Rightarrow$ phương trình $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$\iff d(A,\Delta )=R\iff \frac{\left|2.1+(-2)+c\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\iff |c|=5\iff \left[\begin{array}{c}c=5\\ c=-5\end{array}\right]$
Vậy ta có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm: $2x+y+5=0;2x+y-5=0$.

c) Gọi phương trình chính tắc của Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với $a>0;b>0$.
- Hypebol có tiêu điểm $F(5;0)$ suy ra $c=5$.
- Hypebol đi qua điểm $M(4;0)$ suy ra $a=4$.
- $b^2=c^2-a^2=9$ (Đúng 2 trong 4 ý cho 0,25).
Vậy phương trình chính tắc của $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.