Số cách xếp 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ ngồi vào ghế thành một hàng ngang sao cho các bạn nam luôn ngồi kề nhau là

Cho một lưới gồm các ô vuông kích thước $10\times 6$ như hình vẽ sau đây. Một người đi từ $A$ đến $B$ theo quy tắc: chỉ đi trên cạnh của các ô vuông theo chiều từ trái qua phải hoặc từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau để người đó đi từ $A$ đến $B$ đi qua điểm $C$?

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Trên đường thẳng $a$ lấy 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng $b$ lấy 15 điểm phân biệt. Có thể lập được tất cả bao nhiêu tam giác có các đỉnh được lấy từ các điểm trên?

Lớp 10A có 10 học sinh trong đội tuyển bóng rổ gồm có 3 nữ và 7 nam, lớp có 4 học sinh trong đội tuyển bóng đá là nam, biết rằng không có học sinh nào thuộc cả hai đội tuyển bóng đá và bóng rổ. Lớp cần chọn ra 3 học sinh đi dự Đại hội Thể dục thể thao thành phố, khi đó:

Có 10 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 10 bạn học sinh, trong đó có 2 cặp anh em sinh đôi, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một người. Có tất cả bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn học sinh sao cho trong 2 cặp anh em sinh đôi, không có bạn nào ngồi cạnh người anh em sinh đôi của mình?

Có 10 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 10 bạn học sinh, trong đó có 2 cặp anh em sinh đôi, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một người. Có tất cả bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn học sinh sao cho trong 2 cặp anh em sinh đôi, không có bạn nào ngồi cạnh người anh em sinh đôi của mình?

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá 10 số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)<0$?