Lập phương trình đường tròn $(C)$ đi qua điểm $A(-6;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $4x+y-12=0$ tại $B(2;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $4x+y-12=0$ tại $B(2;4)$ nên tâm $I$ nằm trên đường thẳng qua $B$ vuông góc với đường thẳng đã cho, tức là trên đường thẳng có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến $(4;1)$ của đường thẳng. Vậy $I=(2+4t;4+t)$ với $t\ne 0$.

Vì $A$ và $B$ cùng thuộc đường tròn nên $IA=IB$:
$$I{A}^2=(-6-2-4t{)}^2+(2-4-t{)}^2=(8+4t{)}^2+(2+t{)}^2=68+68t+17t^2,$$
$$I{B}^2=(4t{)}^2+t^2=17t^2.$$
Suy ra $68+68t+17t^2=17t^2\Rightarrow 68t=-68\Rightarrow t=-1$.

Do đó $I=(2-4;4-1)=(-2;3)$ và bán kính:
$$R^2=I{B}^2=4\cdot (-1{)}^2+(-1{)}^2=17.$$

Kiểm tra: $I{A}^2=(-6+2{)}^2+(2-3{)}^2=16+1=17=R^2$ ✓; khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $4x+y-12=0$ là $\frac{|4\cdot (-2)+3-12|}{\sqrt{17}}=\frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}=R$ ✓.

Phương trình đường tròn: $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=17$, hay dạng khai triển $x^2+y^2+4x-6y-4=0$.