Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là 9 km. Người ta đã xác định được một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$ có số tiền chi phí thấp nhất là 2.340.000.000 đồng. Khi đó khoảng cách $AD$ bằng bao nhiêu km, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t)=-t^3+12t^2,0\le t\le 12$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tuần). Đạo hàm $N^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

(1,0 điểm) Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy $A$ cần bán cho nhà máy $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Nhằm giảm ùn tắc giao thông ở cửa ngõ phía Tây TP.HCM, người ta xây một cây cầu vượt giao thông ngã tư Gò Mây trên quốc lộ 1A (là ranh giới quận Bình Tân và quận Tân Phú, TP. Hồ Chí Minh) có hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là $370m$ (hình 1). Tính độ dốc $\alpha$ tối đa của mặt cầu với $0^{\circ }\le \alpha <90^{\circ }$ (hình 2), biết chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là $5m$.



Hình 1. Cầu vượt ngã tư Gò Mây



Hình 2

Một người quản lí của một khu chung cư có 80 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 4 triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 200 nghìn đồng thì sẽ có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất (kết quả tính theo đơn vị là triệu đồng)?

Ông A muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích $900m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là 450000 đồng$/m^2$. Nếu ông A biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu (kết quả tính theo đơn vị là triệu đồng)?

Một người quản lí của một khu chung cư có 210 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 5 triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm ba căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất (kết quả tính theo đơn vị là triệu đồng)?