Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh là $A(10;19)$, $B(15;-16)$ và $C(5;4)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$. Thay tọa độ ba đỉnh:
- $A(10;19)$: $10D+19E+F=-461$
- $B(15;-16)$: $15D-16E+F=-481$
- $C(5;4)$: $5D+4E+F=-41$

Lấy phương trình của $A$ trừ của $C$: $5D+15E=-420\Rightarrow D+3E=-84$. Lấy phương trình của $B$ trừ của $C$: $10D-20E=-440\Rightarrow D-2E=-44$. Trừ hai phương trình: $5E=-40\Rightarrow E=-8$, suy ra $D=-60$, và $F=-41-5D-4E=-41+300+32=291$.

Vậy đường tròn: $x^2+y^2-60x-8y+291=0$, có tâm $I(30;4)$ và bán kính $R=\sqrt{30^2+4^2-291}=\sqrt{625}=25$.

Kiểm tra: $I{A}^2=(10-30{)}^2+(19-4{)}^2=400+225=625$; $I{B}^2=(15-30{)}^2+(-16-4{)}^2=225+400=625$; $I{C}^2=(5-30{)}^2+(4-4{)}^2=625$. Cả ba đỉnh đều thuộc đường tròn.