Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\text{ (cm)}$; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x\text{ (cm)}$, với $x\text{ (cm)}$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị ${\text{cm}}^3$) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ có $AB=2$, $AD=8$ và $BC=x$ với $0<x<8$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $ABCD$ (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng $BC$ và $AD$. Tìm $x$ để $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{2}$.

Hình bên dưới là mặt cắt dọc của một chiếc cầu bê tông (phần tô đậm, các đơn vị đều đo bằng mét)
Biết chiều rộng của cầu bằng $9\text{m}$. Thể tích bê tông ít nhất cần để đúc cầu là

Giả sử đồ thị hàm số $y=(m^2+1)x^4-2m{x}^2+m^2+1$ có $3$ điểm cực trị là $A,B,C$ mà $x_A<x_B<x_C$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$ ta được một khối tròn xoay. Giá trị của $m$ để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Câu 6. Một quả khế được mô hình hóa cân đối, có chiều dài $18\text{ cm}$. Mỗi thiết diện vuông góc với chiều dài quả khế là một hình sao $5$ cánh cân đối: gồm $5$ đỉnh nhọn cách đều quanh tâm và $5$ rãnh xen kẽ, cũng cách đều quanh tâm. Trên mỗi thiết diện, gọi $A_n$ là một đỉnh nhọn và $B_n$ là rãnh đối diện với đỉnh nhọn đó. Quan sát mặt cắt dọc (chứa trục quả khế) đi qua các điểm $A_n$ và $B_n$: parabol giới hạn cánh quả khế, tức tập hợp các điểm $A_n$, có bề rộng (chiều dài quả khế) gấp $5$ lần chiều cao (khoảng cách từ đỉnh parabol đến trục quả khế); parabol giới hạn rãnh quả khế, tức tập hợp các điểm $B_n$, có bề rộng gấp $8$ lần chiều cao. Hai parabol này cùng đi qua hai đầu quả khế. Tính thể tích quả khế theo mô hình trên. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ${\text{cm}}^3$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn điều kiện $(x+1)f^{\prime }(x)+xf(x)=-x^2,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-2$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{f(x)+1}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích $V$ bằng

Cho vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0;x=2$. Cắt vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ ($0\le x\le 2$) thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $(x+1)e^x$. Biết thể tích vật thể $(T)$ bằng $\frac{a{e}^4-b}{4}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$), giá trị của $P=a+b$ bằng

$D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Thể tích khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x-2$ và trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành, ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi hai đường $y=x^2-4$ và $y=2x-4$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo bởi khi quay $(H)$ quanh trục hoành.

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4 , biết rằng khi cắt vật
thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1  x  4 ) thì được thiết diện là một
hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 4 − x.
81 22 3 81 22 3

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$ và trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ bằng:

Cho hình trụ có bán kính đáy $r=5$ và độ dài đường sinh $l=3$. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

Một téc nước hình trụ, đang chứa nước được đặt nằm ngang, có chiều dài $3$m và đường kính đáy $1$m. Hiện tại nước trong téc cách phía trên đỉnh của téc $0,25$m (xem hình vẽ). Tính thể tích của nước trong téc (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Thể tích khối trụ có chiều cao $h=2$ và bán kính đáy $r=3$ bằng

Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 - 3 x + 2 và trục hoành. Thể tích của
khối tr$\int$ n xoay sinh ra khi quay hình ( H ) quanh trục hoành bằng

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường
3
=-
+
y
x
x và
0
=
y
quanh trục Ox bằng

Một thiết bị kỹ thuật là một khối tròn xoay. Mặt cắt của khối tròn xoay đó qua trục của nó
được mô tả trong hình bên. Thể tích của thiết bị đó bằng

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=-x^2+3x$ và $y=0$ khi quay quanh trục $Ox$ bằng

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2+3x$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng