Cho vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0;x=2$. Cắt vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ ($0\le x\le 2$) thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $(x+1)e^x$. Biết thể tích vật thể $(T)$ bằng $\frac{a{e}^4-b}{4}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$), giá trị của $P=a+b$ bằng

Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Lộc muốn thiết kế một đèn lồng cao $40\text{ cm}$ để treo lên cây Nêu. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{\max }=14\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $(P):y=f(x)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$).

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=30\text{ m}$, $AF=2CD=12\text{ m}$. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{3}x$. Thể tích của vật thể bằng

Cho hình nón $\mathcal{H}$ có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=10\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (*Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục*).

Sân vận động Sport Hub là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm $2015$. Nền sân là một elip $(E)$ có trục lớn dài $150\text{ m}$, trục bé dài $90\text{ m}$. Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt elip ở $M,N$ thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?

Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $25\text{ cm}$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $R=\frac{4}{9}{x}^3-\frac{5}{3}{x}^2+\frac{4}{3}x+\frac{25}{36}\text{ (dm)}$ với $x\in \left[0;\frac{5}{2}\right]$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị $\text{dm}$). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị)?