Câu 15THPTChuyên đề: Thể tích theo diện tích thiết diện • Lớp 12Tìm hệ số hàm bậc haiGTLN GTNN trên đoạn hoặc miềnVận dụng cao#Nguyên hàm - Tích phân#Ứng dụng tích phân tính thể tích
Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Lộc muốn thiết kế một đèn lồng cao để treo lên cây Nêu. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh . Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh . Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục với trục biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị trên mỗi trục là ).
Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Lộc muốn thiết kế một đèn lồng cao để treo lên cây Nêu. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh . Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh . Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục với trục biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị trên mỗi trục là ).
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông vuông góc với trục thẳng đứng bằng .
b)
Đường cong Parabol tạo ra khung đèn có phương trình là .
c)
Thể tích của chiếc đèn lồng đó là lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d)
Để đảm bảo an toàn, bác Lộc treo một chiếc bóng đèn sợi đốt hình cầu có tâm (được xem là một điểm) đặt trên trục thẳng đứng của lồng đèn và cách đáy dưới . Bác quy định rằng để tránh làm cháy lớp giấy dán vỏ lồng đèn thì khoảng cách từ bề mặt bóng đèn đến bất kỳ điểm nào trên giấy dán phải tối thiểu là . Khi đó, bác có thể chọn chiếc bóng đèn có bán kính lớn nhất là (kết quả làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy).
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:Đ,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Diện tích lớn nhất của mặt cắt ngang hình vuông là . Sai.
b) Nửa đường chéo hình vuông tại là và tại là . Parabol đỉnh đi qua có phương trình . Đúng.
c) Tại hoành độ , mặt cắt ngang là hình vuông có nửa đường chéo nên diện tích là . Thể tích đèn lồng là . Đúng.
d) Tâm bóng đèn tại trên trục . Khoảng cách từ trục đến mặt bên giấy dán tại hoành độ là , nên khoảng cách ngắn nhất từ đến vỏ giấy dán là . Suy ra bán kính bóng đèn lớn nhất là . Đúng.
b) Nửa đường chéo hình vuông tại là và tại là . Parabol đỉnh đi qua có phương trình . Đúng.
c) Tại hoành độ , mặt cắt ngang là hình vuông có nửa đường chéo nên diện tích là . Thể tích đèn lồng là . Đúng.
d) Tâm bóng đèn tại trên trục . Khoảng cách từ trục đến mặt bên giấy dán tại hoành độ là , nên khoảng cách ngắn nhất từ đến vỏ giấy dán là . Suy ra bán kính bóng đèn lớn nhất là . Đúng.
