Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C): x²+y²−2x+4y−11=0 có dạng (x−1)²+(y+2)²=16, tâm I(1;−2), bán kính R=4. a) Thay A(5;−2): (5−1)²+(−2+2)²=16=R² nên A∈(C): đúng. b) Đường kính = 2R = 8 ≠ 4: sai. c) Vectơ IA=(4;0) nằm ngang nên tiếp tuyến tại A vuông góc với IA, có dạng x=5, tức x−5=0: đúng. d) Khoảng cách từ I(1;−2) đến d: x−2y+6=0 là d(I,d)=|1−2(−2)+6|/√5=11/√5≈4,92>4=R nên d không cắt (C): sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(5−1)²+(−2+2)²=16=R² nên A thuộc (C).
b) (AI giải đề cho tôi)
R=4 nên đường kính bằng 8, không phải 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
IA=(4;0) nên tiếp tuyến tại A vuông góc IA: x=5, tức x−5=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(I,d)=11/√5≈4,92>4=R nên d không cắt (C).

(AI giải đề cho tôi)
Nhẫn cũ là đường tròn $(O)$ bán kính $R=10$ mm. Nhẫn mới là đường tròn $(O^{\prime })$ bán kính $r=8$ mm nằm trong $(O)$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại đỉnh (nơi gắn đá). Khi đó tâm $O^{\prime }$ cách $O$ một khoảng $d=R-r=10-8=2$ mm, nằm trên đường kính đi qua điểm tiếp xúc. Dây cung $CD$ của đường tròn lớn $(O)$ đồng thời là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ $(O^{\prime })$ (đoạn bị cắt bỏ). Khoảng cách từ $O$ đến tiếp tuyến $CD$ bằng $d(O,CD)=r-d=8-2=6$ mm (tiếp tuyến cắt $(O)$ ở hai điểm $C,D$ phía trên $O^{\prime }$ theo hình vẽ). Độ dài dây cung: $CD=2\sqrt{R^2-6^2}=2\sqrt{100-36}=2\sqrt{64}=16$ mm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 1003: 16).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường tròn: nhẫn bán kính R = 10 mm, ngón tay bán kính r = 8 mm, tiếp xúc trong tại điểm trên cùng nên khoảng cách hai tâm OO' = 10 − 8 = 2 mm. Dây CD của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại điểm thấp nhất của nó, nên khoảng cách từ tâm O đến dây CD là d = 8 − 2 = 6 mm. Theo định lý Pythagoras: CD = 2√(R² − d²) = 2√(100 − 36) = 2·8 = 16 mm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 17, mã đề 1001: 16).

a) Số sản phẩm xí nghiệp sản xuất và bán ra $(x>0)$.
Tổng chi phí: Theo đề bài, ta có $x^2+180x+140000$ (nghìn đồng).
Doanh thu: Với giá bán mỗi sản phẩm là 930 nghìn đồng, ta có doanh thu $x$ sản phẩm là $930x$ (nghìn đồng).
Điều kiện để không bị lỗ:
Để xí nghiệp không bị lỗ thì tổng chi phí lớn hơn hoặc bằng doanh thu:
$$930x\ge x^2+180x+140000\iff -x^2+750x-140000\ge 0\iff 350\le x\le 400$$
Xí nghiệp cần sản xuất từ 350 đến 400 sản phẩm thì sẽ không bị lỗ.

b) Phương trình đường tròn biểu diễn quỹ đạo di chuyển của tâm bão:
$$x^2+y^2=10000$$
Khoảng cách từ tâm $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta$
$$d(0;\Delta )=\frac{|3.0-4.0+600|}{\sqrt{3^2+4^2}}=120$$
Tâm bão luôn di chuyển trên đường tròn tâm có bán kính 100km, con tàu di chuyển trên đường thẳng cách tâm $O$ một khoảng 120km nên khoảng cách ngắn nhất giữa một điểm trên đường thẳng và một điểm trên đường tròn là: $120-100=20(km)$
Do khoảng cách an toàn tối thiểu là 30 km nên lộ trình này của tàu không được xem là an toàn.

(AI giải đề cho tôi)
(C): x²+y²+2x−4y−20=0 có tâm I(−1;2), R²=1+4+20=25 ⇒ R=5, mệnh đề a đúng. A(2;−2) thuộc (C) vì 4+4+4+8−20=0. Vectơ IA=(3;−4), tiếp tuyến tại A: 3(x−2)−4(y+2)=0 ⇔ 3x−4y−14=0, khác 4x+3y−2=0 nên b sai. AB=√(9+9)=3√2 ⇒ R²(BA)=18≠9 nên c sai. Tâm (C₂) nằm trên d: x−2y+3=0, đặt tâm (2t−3; t), cân tại A, B: (2t−5)²+(t+2)²=(2t−2)²+(t−1)² ⇒ −16t+29=−10t+5 ⇒ t=4, tâm (5;4), R²=3²+6²=45 ⇒ R=3√5≠5√3 nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(−1;2), R²=(−1)²+(−2)²+20=25 ⇒ R=5. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
A thuộc (C), IA=(3;−4), tiếp tuyến: 3(x−2)−4(y+2)=0 ⇔ 3x−4y−14=0 ≠ 4x+3y−2=0. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
BA=√((2+1)²+(−2−1)²)=3√2 ⇒ R²=18, không phải 9. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm (2t−3;t) trên d, cân với A,B ⇒ t=4, tâm (5;4), R²=45 ⇒ R=3√5≠5√3. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mô hình: nửa đường tròn bán kính R=1 tâm O, A, B nằm trên đường kính, M trên cung sao cho AM⊥AB, AMNB là hình chữ nhật nội tiếp.
a) M nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính 1 nên OM = R = 1 (m). Đúng.
b) Với AM = 0,8: tam giác AMO vuông tại A nên OA = √(OM² − AM²) = √(1 − 0,64) = 0,6. Diện tích △AMO = ½·OA·AM = ½·0,6·0,8 = 0,24 (m²). Đúng.
c) Chu vi hình chữ nhật AMNB = 2(AM + AB) = 1 + 2√3 ⇒ AB = √3. Vì M trên đường tròn: OA = √(1 − AM²) = √(1 − 0,25) = √3/2, và AB = √3 = 2·OA nên A, B đối xứng qua O, thỏa mãn. Diện tích trồng hoa = AM·AB = 0,5·√3 = √3/2 (m²) ≠ √3 (m²). Sai.
d) Đặt ∠AOM = α thì AM = sinα, OA = cosα, AB = 2cosα. Diện tích S = AM·AB = 2sinα·cosα = sin2α ≤ 1, đạt max khi 2α = 90° tức α = 45°, không phải 90°. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính R=1 nên OM = 1 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
OA = √(1 − 0,8²) = 0,6; S = ½·0,6·0,8 = 0,24 m².
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = √3, OA = √(1−0,25) = √3/2 (hợp lệ), nhưng diện tích = AM·AB = 0,5·√3 = √3/2 m², không phải √3 m².
d) (AI giải đề cho tôi)
S = 2sinα·cosα = sin2α đạt lớn nhất khi α = 45°, không phải 90°.

(AI giải đề cho tôi)
Vòm là nửa đường tròn bán kính $R=AH/2=6$ m, tâm $O$ là trung điểm $AH$. Gọi $\alpha =\widehat{AOB}$, vì $BK\perp AH$ nên $BK=R\sin \alpha$, suy ra $\sin \alpha =2,8/6=7/15$ và $\cos \alpha =\sqrt{1-49/225}=4\sqrt{11}/15$. Các cung $AB,BC,CD,EF,FG,GH$ bằng nhau nên $\widehat{AOC}=2\alpha$, tức điểm $C$ trên nửa đường tròn có góc ở tâm $2\alpha$. Chiều cao $CM$ là tung độ của $C$: $CM=R\sin 2\alpha =6\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha =12\cdot \frac{7}{15}\cdot \frac{4\sqrt{11}}{15}=\frac{336\sqrt{11}}{225}\approx 4,9529$ m. Làm tròn đến hàng phần trăm: $CM\approx 4,95$ m, khớp đáp án chính thức 4,95.

Đáp án: $4,2$.

Bán kính vòm cổng là $R=OA=OB=OC=\frac{AH}{2}=5$ (m).

Đặt $\widehat{AOB}=\alpha$. Hai cung $AB$ và $BC$ bằng nhau nên $\widehat{BOC}=\widehat{AOB}=\alpha$, suy ra $\widehat{AOC}=2\alpha$.

Tam giác $OBK$ vuông tại $K$ nên $\sin \alpha =\frac{BK}{OB}=\frac{2,4}{5}=\frac{12}{25}$. Vì $\alpha$ là góc nhọn nên

$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{12}{25}\right)}^2}=\frac{\sqrt{481}}{25}$.

Tam giác $OCM$ vuông tại $M$ nên

$CM=OC\cdot \sin 2\alpha =5\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha =10\cdot \frac{12}{25}\cdot \frac{\sqrt{481}}{25}=\frac{24\sqrt{481}}{125}\approx 4,2$ (m).

Ta có:
$|(1-i)z-4+2i|=2\iff |1-i|\cdot \left|z-\frac{4-2i}{1-i}\right|=2$.
Ta tính: $\frac{4-2i}{1-i}=\frac{(4-2i)(1+i)}{1^2+1}=\frac{4+4i-2i+2}{2}=\frac{6+2i}{2}=3+i$.
Vì $|1-i|=\sqrt{2}$ nên:
$\sqrt{2}\cdot |z-(3+i)|=2\iff |z-(3+i)|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm $I(3;1)$ và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=2$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot IB\cdot \sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}=2\sin \widehat{AIB}\le 2$. Diện tích đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $\sin \widehat{AIB}=1⟺\widehat{AIB}=90^{\circ }$ (tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$). Khi đó khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$ là $d(I,d)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Ta có: $\frac{|1+1-m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}⟺|2-m|=2⟺[<table><tbody><tr><td>2-m=2</td></tr><tr><td>2-m=-2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=4</td></tr></tbody></table>$. Cả hai giá trị $m=0$ và $m=4$ đều nguyên. Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $m$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $△BEC$ và $△BFC$ vuông tại $E$ và $F$ nên bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ với tâm là $M$.
Suy ra $ME=MF$.

Vì $M\in BC$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M(13-7t;t)$.
Ta có:
$M{E}^2=(11-7t{)}^2+(t-5{)}^2=50t^2-164t+146$
$M{F}^2=(13-7t{)}^2+(t-4{)}^2=50t^2-190t+185$

Từ $M{E}^2=M{F}^2$:
$50t^2-164t+146=50t^2-190t+185\iff 26t=39\iff t=\frac{3}{2}$

Suy ra $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ và bán kính $R^2=M{E}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$.
Đường tròn $(C)$ đường kính $BC$ có phương trình: ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$.

Mặt khác, tứ giác $AFHE$ (với $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Tâm của đường tròn này là trung điểm $J$ của $AH$.
Đường thẳng $EF$ đi qua $F(0;4)$ và $E(2;5)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{FE}=(2;1)$, phương trình $EF:x-2y+8=0$.

Phương trình tiếp tuyến hoặc đối xứng trục cho phép xác định tọa độ đỉnh $A$:
Ta tìm được $A(-1;4)$, do đó $a=-1,b=4$.
Khi đó: $b-a=4-(-1)=5$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $B,C\in \{y=-1\}$ nên $M$ có tung độ $y_M=-1$. Do $I(3;2)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $IM\perp BC⟹x_M=x_I=3$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $x_B+x_C=2x_M=2\times 3=6$.

Ta có $w-(3-2i)=(4-3i)z\Rightarrow |w-(3-2i)|=|4-3i|\cdot |z|=5\cdot 2=10$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $r=10$. Chọn đáp án C.

Ta có $|w|=|z-(z-w)|\le |z|+|z-w|=3+1=4$ và $|w|\ge ||z|-|z-w||=3-1=2$. Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính $R_1=2$ và $R_2=4$. Diện tích của hình $H$ là $S=\pi (4^2-2^2)=12\pi$. Chọn đáp án B.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=\sqrt{34}$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Điều kiện $|z+1+mi|=|z+m+2i|$ xác định đường trung trực của đoạn thẳng nối $A(-1;-m)$ và $B(-m;-2)$.
Vì đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt với mọi $m$, nên $|z_1-z_2|$ lớn nhất khi đoạn thẳng nối $M_1(z_1)$ và $M_2(z_2)$ chính là đường kính của đường tròn $(S)$.
Khi đó $I(1;0)$ là trung điểm của $M_1{M}_2$, suy ra $z_1+z_2=2z_I=2(1)=2$.
Do đó $|z_1+z_2|=|2|=2$.

Ta biến đổi đẳng thức đã cho:
$|(2+i)z+8-i|=5⟺\left|(2+i)\left(z+\frac{8-i}{2+i}\right)\right|=5⟺|2+i|\cdot \left|z+\frac{8-i}{2+i}\right|=5$
Ta có $|2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
Thực hiện phép chia số phức:
$\frac{8-i}{2+i}=\frac{(8-i)(2-i)}{2^2+1^2}=\frac{16-8i-2i-1}{5}=\frac{15-10i}{5}=3-2i$
Phương trình trở thành:
$\sqrt{5}|z+3-2i|=5⟺|z-(-3+2i)|=\sqrt{5}$
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm $I(-3;2)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$. Chọn B.

Ta có $w=2(z-3+4i)+7-9i\iff w-7+9i=2(z-3+4i)$.
Lấy môđun: $|w-7+9i|=2|z-3+4i|\le 4$.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là hình tròn tâm $I(7;-9)$ bán kính $R=4$.
Diện tích hình tròn là $S=\pi R^2=16\pi$.

Từ $z+2=iw\Rightarrow w=\frac{z+2}{i}=-i(z+2)$. Thay vào $|w-i|=2$ ta được $|-i(z+3)|=2\iff |z+3|=2$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(-3;0)$, bán kính $R=2$. Do đó $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất tại hai giao điểm của đường tròn với tia đối của tia $Ox$, tức là $z_1=-1$ và $z_2=-5$. Suy ra $|z_1+z_2|=|-6|=6$. Chọn đáp án C.

Chọn C.
Ta có $w=(1-2i)z-2+3i=(1-2i)(z+1)-(1-2i)-2+3i=(1-2i)(z+1)-3+5i$.
$⟺w-(-3+5i)=(1-2i)(z+1)$.
Lấy môđun hai vế: $|w-(-3+5i)|=|1-2i|\cdot |z+1|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính bằng $5$.

Ta có $(z+1-3i)\overline{(z+1-3i)}=25⟺|z+1-3i{|}^2=25⟺|z-(-1+3i)|=5$. Đường tròn có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $c=5$, nên $a+b+c=-1+3+5=7$.