Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có phương trình đường thẳng $BC:x+7y-13=0$. Các chân đường cao kẻ từ $B,C$ lần lượt là $E(2;5),F(0;4)$. Biết tọa độ đỉnh $A$ là $A(a;b)$. Khi đó:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $△BEC$ và $△BFC$ vuông tại $E$ và $F$ nên bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ với tâm là $M$.
Suy ra $ME=MF$.

Vì $M\in BC$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M(13-7t;t)$.
Ta có:
$M{E}^2=(11-7t{)}^2+(t-5{)}^2=50t^2-164t+146$
$M{F}^2=(13-7t{)}^2+(t-4{)}^2=50t^2-190t+185$

Từ $M{E}^2=M{F}^2$:
$50t^2-164t+146=50t^2-190t+185\iff 26t=39\iff t=\frac{3}{2}$

Suy ra $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ và bán kính $R^2=M{E}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$.
Đường tròn $(C)$ đường kính $BC$ có phương trình: ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$.

Mặt khác, tứ giác $AFHE$ (với $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Tâm của đường tròn này là trung điểm $J$ của $AH$.
Đường thẳng $EF$ đi qua $F(0;4)$ và $E(2;5)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{FE}=(2;1)$, phương trình $EF:x-2y+8=0$.

Phương trình tiếp tuyến hoặc đối xứng trục cho phép xác định tọa độ đỉnh $A$:
Ta tìm được $A(-1;4)$, do đó $a=-1,b=4$.
Khi đó: $b-a=4-(-1)=5$.