Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_n=\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots +\frac{2n-1}{n^2}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của $\lim u_n$ bằng:

Câu 2. (4 điểm) Ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Đặt
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-\{x\}& \text{khi }\{x\}\le \frac{1}{2}\\ x-\{x\}+1& \text{khi }\{x\}>\frac{1}{2}.\end{array}$$

a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(\sqrt{n})=2025$.

b. Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đặt $u_n=\frac{1}{f(\sqrt{1})}+\frac{1}{f(\sqrt{2})}+\cdots +\frac{1}{f(\sqrt{n})}-2\sqrt{n}$.

Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Nếu các dãy số $(u_n),(v_n)$ thỏa mãn $\lim u_n=4$ và $\lim v_n=3$ thì $\lim (u_n+v_n)$ bằng

Tính $\lim {\left(\frac{2025}{2026}\right)}^n$.

Giá trị của giới hạn dãy $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n-2025}{n+1}$ là

Phát biểu nào sau đây là sai?

Cho giới hạn $L=\lim \sqrt{3+\frac{a{n}^2-1}{3+n^2}-\frac{1}{2^n}}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: