Câu 2. (4 điểm) Ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Đặt
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-\{x\}& \text{khi }\{x\}\le \frac{1}{2}\\ x-\{x\}+1& \text{khi }\{x\}>\frac{1}{2}.\end{array}$$

a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(\sqrt{n})=2025$.

b. Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, đặt $u_n=\frac{1}{f(\sqrt{1})}+\frac{1}{f(\sqrt{2})}+\cdots +\frac{1}{f(\sqrt{n})}-2\sqrt{n}$.

Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

a. Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $N_k$ là tập các số nguyên dương $m$ sao cho $f(\sqrt{m})=k$. Ta có
$$N_k=\left\{m\in {\mathbb{Z}}^{+}\mid k-\frac{1}{2}<\sqrt{m}\le k+\frac{1}{2}\right\}$$
$$=\left\{m\in {\mathbb{Z}}^{+}\mid k^2-k+\frac{1}{4}<m\le k^2+k+\frac{1}{4}\right\}$$
$$=[k^2-k+1,k^2+k]=[(k-1)k+1,k(k+1)].$$
Do vậy $\left\{n\mid f(\sqrt{n})=2025\right\}=N_{2025}=[2024.2025+1;2025.2026].$

b. Để thấy $N_k$ có $2k$ phần tử và mỗi số nguyên dương $m$ nằm trong đúng một tập $N_k$ với $k$ nào đó.
Đặt $\ell =f(\sqrt{n})$. Trong công thức của $u_n$, với mỗi số nguyên dương $k\le \ell -1$, hạng tử $\frac{1}{k}$ xuất hiện $2k$ lần; còn hạng tử $\frac{1}{\ell }$ xuất hiện $n-\ell (\ell -1)$ lần (tương ứng với $m=\ell (\ell -1)+1,\dots ,n$).
Từ đó
$$u_n=2(\ell -1)+\frac{n-\ell (\ell -1)}{\ell }-2\sqrt{n}=\frac{n-2\sqrt{n}\ell +{\ell }^2}{\ell }-1=\frac{(\ell -\sqrt{n}{)}^2}{\ell }-1.$$
Để ý rằng $\left|\sqrt{n}-\ell \right|\le \frac{1}{2}$ và $\ell$ tiến ra $+\infty$ khi $n$ tiến ra $+\infty$ nên $(u_n)\to -1$.