Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=|3x^4-4x^3-12x^2+m-1|$ có $7$ điểm cực trị là

Xét hàm số $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m-1$.

Ta có:
$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-1,x=0,x=2$
Hàm số $f(x)$ luôn có $3$ điểm cực trị.

Các giá trị cực trị của $f(x)$:
- $f(-1)=3(-1{)}^4-4(-1{)}^3-12(-1{)}^2+m-1=m-6$;
- $f(0)=m-1$;
- $f(2)=3(16)-4(8)-12(4)+m-1=m-33$.

Vì hệ số $a=3>0$, hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=2$, trong đó $f(2)=m-33<f(-1)=m-6<f(0)=m-1$.

Hàm số $y=|f(x)|$ có $7$ điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt (tức là $3$ điểm cực trị của $f(x)$ cùng với $4$ nghiệm đơn của $f(x)=0$).

Điều này tương đương với cực tiểu lớn hơn mang giá trị âm và cực đại mang giá trị dương:
$\{\begin{array}{rl}& f(-1)<0\\ & f(0)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m-6<0\\ & m-1>0\end{array}\iff 1<m<6$

Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $(1;6)$.