Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình $3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Điều kiện xác định: $x\ge 1$.

Nếu $x=1$, thay vào phương trình ta được $m\sqrt{2}=0\iff m=0$. Khi đó phương trình có nghiệm $x=1$.

Với $x>1$, chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{x+1}>0$:
$3\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+m=2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}$

Đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}$. Với $x>1$, hàm số $u(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ đồng biến trên $[1;+\infty )$ và nhận giá trị trong $[0;1)$, do đó $t\in (0;1)$ (và với $x=1$ thì $t=0$).

Mỗi giá trị $t\in [0;1)$ cho đúng một nghiệm $x\ge 1$.

Phương trình trở thành:
$3t^2+m=2t\iff m=-3t^2+2t$

Xét hàm số $f(t)=-3t^2+2t$ trên $[0;1)$:
$f^{\prime }(t)=-6t+2=0\iff t=\frac{1}{3}\in (0;1)$

Bảng biến thiên của $f(t)$ trên $[0;1)$:
- $f(0)=0$;
- $f\left(\frac{1}{3}\right)=-3\left(\frac{1}{9}\right)+2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$;
- ${\lim }_{t\to 1^{-}}f(t)=-1$.

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị hàm số $f(t)$ tại hai điểm phân biệt thuộc $[0;1)$.

Từ bảng biến thiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$0\le m<\frac{1}{3}$