Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt là hình vuông cạnh $a$. Các điểm $M,N$ lần lượt nằm trên $A{D}^{\prime },DB$ sao cho $AM=DN=x$ ($0<x<a\sqrt{2}$). Khi $x$ thay đổi, đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

Trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, dựng $M{M}^{\prime }\parallel A^{\prime }D$ ($M^{\prime }\in A{A}^{\prime }$). Áp dụng định lí Ta-lét:
$\frac{M^{\prime }A}{A{A}^{\prime }}=\frac{MA}{A{D}^{\prime }}=\frac{x}{a\sqrt{2}}$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng $N{N}^{\prime }\parallel CD$ ($N^{\prime }\in BC$). Áp dụng định lí Ta-lét:
$\frac{N^{\prime }B}{BC}=\frac{ND}{BD}=\frac{x}{a\sqrt{2}}$

Suy ra $M^{\prime }A=N^{\prime }B$. Khi đó đường thẳng $M^{\prime }{N}^{\prime }$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ hoặc nằm trong mặt phẳng song song với $(A^{\prime }BC)$.

Mặt khác, $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ nên $A^{\prime }D\parallel (A^{\prime }BC)$ và $CD\parallel AB\subset (A^{\prime }BC)$. Suy ra đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.