Gọi $S$ là tập các giá trị dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+27x+3m-2$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|\le 5$. Biết $S=(a;b]$. Tính $T=2b-a$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+27=3(x^2-2mx+9)$.

Hàm số có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ khi phương trình $x^2-2mx+9=0$ có hai nghiệm phân biệt:
${\Delta }^{\prime }=m^2-9>0\iff m>3(\text{do }m>0)$

Theo định lí Vi-ét, ta có:
$\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=2m\\ & x_1{x}_2=9\end{array}$

Điều kiện $|x_1-x_2|\le 5\iff (x_1-x_2{)}^2\le 25$:
$(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2\le 25\iff 4m^2-36\le 25\iff 4m^2\le 61\iff m^2\le \frac{61}{4}\iff m\le \frac{\sqrt{61}}{2}$

Kết hợp $m>3$, ta được tập giá trị dương của $m$ là:
$S=\left(3;\frac{\sqrt{61}}{2}\right]$

Suy ra $a=3$ và $b=\frac{\sqrt{61}}{2}$.

Khi đó:
$T=2b-a=2\cdot \frac{\sqrt{61}}{2}-3=\sqrt{61}-3$