Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm $A$) trong đất liền ra đảo (điểm $C$). Biết khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến $B$ là $60\text{ km}$, khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $100\text{ km}$, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là $100$ triệu đồng, chi phí mỗi km dây điện trên bờ là $60$ triệu đồng. Hỏi điểm $G$ cách $A$ bao nhiêu km để mắc dây điện từ $A$ đến $G$ rồi từ $G$ đến $C$ chi phí thấp nhất? (Đoạn $AB$ ở trên bờ, đoạn $GC$ dưới nước)

Một xe ôtô chở khách du lịch có sức chứa tối đa $29$ hành khách. Trong khu du lịch Đền Hùng, một đoàn khách gồm $40$ người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Người lái xe đưa ra thoả thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\frac{(100-x{)}^2}{40}$ (nghìn đồng) và một chuyến không chở dưới $15$ người. Hỏi với thoả thuận như trên thì cần trả ít nhất bao nhiêu nghìn đồng để cả đoàn được đưa về khách sạn bằng xe du lịch?

Một chất điểm chuyển động với vận tốc được cho bởi công thức $v(t)=-t^2+4t+2$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất?

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng X được cho bởi công thức $P(x)=-x^3+24x^2+780x-1000$ (nghìn đồng) trong đó $x$ (tấn) là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa $40$ tấn sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm trong một tuần?

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+5$, với đơn vị của hệ trục là $100\mathrm{m}$. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x$. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một chất điểm chuyển động với vận tốc được cho bởi công thức $v(t)=-t^2+4t+2$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm là lớn nhất?

Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số $f(x)=TR-TC$, lợi nhuận của xí nghiệp A lớn nhất khi sản xuất bao nhiêu sản phẩm?