Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đạo hàm cấp hai (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Tại $t=3$: $a(3)=6\cdot 3-6=12$ (m/s²). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+18t-15=-3(t-1)(t-5)$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+18$.
a) $v(t)=0\iff t=1$ hoặc $t=5$ (giây), không phải $t=0$ hay $t=2$ → sai.
b) $v(2)=-3\cdot 4+18\cdot 2-15=-12+36-15=9$ m/s → đúng.
c) $a(3)=-6\cdot 3+18=0\ne 12$ m/s² → sai.
d) $v(t)=-3t^2+18t-15$ là parabol có đỉnh tại $t=\frac{18}{6}=3$ s, giá trị lớn nhất $v(3)=12$ m/s. Tại $t=1,5$ s thì $v(1,5)=5,25$ m/s, không phải lớn nhất → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=-3t²+18t-15=0 ⇔ t=1 hoặc t=5 (s), không phải t=0 hay t=2.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(2)=-12+36-15=9 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=-6t+18 nên a(3)=0 m/s², không phải 12 m/s².
d) (AI giải đề cho tôi)
v(t) đạt max tại đỉnh parabol t=3 s với v(3)=12 m/s; tại t=1,5 s chỉ có v=5,25 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc sau khi hãm phanh: $v(t)=v_0+at=20-4t$ (m/s). a) Quãng đường đến khi dừng: $s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{20^2}{8}=50$ m → Đúng. b) $v(t)=20-4t$, không phải $20-5t$ → Sai. c) Dừng khi $v(t)=0\Rightarrow t=5$ s → Đúng. d) $v(2)=20-8=12$ m/s ≠ 10 m/s → Sai. Kết quả ĐSĐS khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 1122, Phần 2 Câu 1: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{400}{8}=50$ m, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=20-4t$ (m/s), không phải $20-5t$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=0\iff 20-4t=0\iff t=5$ s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(2)=20-4\cdot 2=12$ m/s, không phải 10 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=S^{\prime }(t)=\frac{t^3}{3}-2t^2+6t-2$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=t^2-4t+6=(t-2{)}^2+2\ge 2$ với mọi $t$. Gia tốc nhỏ nhất bằng $2$ (m/s${}^2$), đạt khi $t=2$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}$ và $y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2\ln 10}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t=-3t(t-4)$, với $t\in [0;4]$. Xét $v(t)=-3t^2+12t$ trên $[0;4]$: $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\iff t=2$. Vì $v^{\prime }(t)>0$ khi $t<2$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>2$ nên $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ giây, với $v(2)=-12+24=12$ (m/s). Gia tốc là $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+12$. Tại $t=2$: $a(2)=-6\cdot 2+12=0(m/s^2)$. Vậy khi chất điểm có vận tốc lớn nhất (tại $t=2$ giây), gia tốc của chất điểm bằng $0m/s^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+6$. Gia tốc triệt tiêu khi $a(t)=0\iff -6t+6=0\iff t=1$ (giây). Khi đó $v(1)=-3(1{)}^2+6(1)+9=-3+6+9=12$ (m/s). Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $12$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y={\sin }^{3}x$, ta có $y^{\prime }=3{\sin }^{2}x\cos x$. Do đó $y^{\prime \prime }=3(2\sin x\cos x\cdot \cos x+{\sin }^{2}x\cdot (-\sin x))=6\sin x{\cos }^{2}x-3{\sin }^{3}x=6\sin x(1-{\sin }^{2}x)-3{\sin }^{3}x=6\sin x-9{\sin }^{3}x=6\sin x-9y$. Suy ra $y^{\prime \prime }+9y-6\sin x=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+2t+1$ là hàm bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=\frac{-2}{2\cdot (-3)}=\frac{1}{3}$ (giây), với $v_{\max }=\frac{4}{3}$ (m/s). Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-6t+2$. Tại $t=\frac{1}{3}$: $a\left(\frac{1}{3}\right)=-6\cdot \frac{1}{3}+2=0$ (m/s${}^2$). Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $0$ m/s${}^2$ (điều này đúng vì đỉnh của parabol vận tốc chính là điểm mà đạo hàm vận tốc, tức gia tốc, bằng 0).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sin 2x$, ta có $y^{\prime }=2\cos 2x$ và $y^{\prime \prime }=-4\sin 2x=-4y$. Suy ra $4y+y^{\prime \prime }=0$, tức khẳng định C đúng. Kiểm tra các phương án khác: $y^2+(y^{\prime }{)}^2={\sin }^{2}2x+4{\cos }^{2}2x$ không bằng hằng số 4 (A sai); $4y-y^{\prime \prime }=8y\ne 0$ (B sai); $y^{\prime }\tan 2x=2\cos 2x\cdot \tan 2x=2\sin 2x=2y\ne y$ (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{2x-x^2}$, ta có $y^2=2x-x^2$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{y}$. Do đó $y^{\prime \prime }=\frac{-y-(1-x)y^{\prime }}{y^2}=\frac{-y^2-(1-x{)}^2}{y^3}=\frac{-(2x-x^2)-(1-2x+x^2)}{y^3}=\frac{-1}{y^3}$. Vậy $A=y^3\cdot y^{\prime \prime }=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+6$. Gia tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$. Gia tốc triệt tiêu khi $6t-6=0\iff t=1$ (giây). Khi đó $v(1)=3(1{)}^2-6(1)+6=3-6+6=3$ (m/s). Vậy vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là $v=3$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=-2+8t+6t^2$. Gia tốc là đạo hàm cấp hai: $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=8+12t$. Tại $t=5$: $a(5)=8+12\cdot 5=68(m/s^2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=5x^4-12x^3+1$, suy ra $y^{\prime \prime }=20x^3-36x^2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+2$. Cho $v(t)=7$: $t^2-4t+2=7\iff t^2-4t-5=0\iff t=5$ (nhận, vì $t>0$; $t=-1$ loại). Gia tốc tức thời: $a(t)=v^{\prime }(t)=2t-4$. Tại $t=5$: $a(5)=2\cdot 5-4=6m/s^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=-0,01t^3+1,1t^2-30t+250$.

a) $h^{\prime }(t)=-0,03t^2+2,2t-30$, không phải $-0,01t^2+2,2t-30$ (đạo hàm của $-0,01t^3$ là $-0,03t^2$). → Sai.

b) $h^{\prime \prime }(t)=-0,06t+2,2$. → Đúng.

c) $a(t)=1,6\Rightarrow -0,06t+2,2=1,6\Rightarrow t=10$. Khi đó $h(10)=-0,01(1000)+1,1(100)-300+250=-10+110-300+250=50$ km. → Đúng.

d) $v(t)=-0,03t^2+2,2t-30$ có đỉnh tại $t=\frac{2,2}{0,06}\approx 36,7>30$, nên trên $[0;30]$ hàm $v$ đồng lòng tăng và đạt max tại $t=30$: $v(30)=-27+66-30=9$ km/s, không phải $10,3$ km/s. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(t)=-0,03t^2+2,2t-30$, không phải $-0,01t^2+2,2t-30$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime \prime }(t)=-0,06t+2,2$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-0,06t+2,2=1,6\Rightarrow t=10$; $h(10)=-10+110-300+250=50$ km.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-0,03t^2+2,2t-30$ đồng lòng tăng trên $[0;30]$ (đỉnh tại $t\approx 36,7$), max tại $t=30$: $v(30)=9$ km/s, không phải $10,3$ km/s.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $s(t)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$ ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$ và $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=-54\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$. a) Sai vì $v(t)=s^{\prime }(t)$ chứ không phải $s^{\prime \prime }(t)$. b) Đúng vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc. c) Tại $t=\frac{\pi }{12}$: $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $v=18\cos \frac{\pi }{2}=0$, chất điểm đứng yên → Đúng. d) $|a(t)|\le 54$, đạt max $54$ khi $\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=\pm 1$, tức $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$; khi đó $\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=0$ nên $v=0$, chất điểm đứng yên → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, không phải $s^{\prime \prime }(t)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc: $a(t)=v^{\prime }(t)=-54\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=\frac{\pi }{12}$, $3t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $v=18\cos \frac{\pi }{2}=0$: chất điểm đứng yên.
d) (AI giải đề cho tôi)
$|a(t)|\le 54$ với max $54$ khi $\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=\pm 1$, khi đó $\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)=0$ nên $v=0$: đúng tại các thời điểm chất điểm đứng yên.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$.
a) $v(2)=3\cdot 4-12+7=7m/s$ → đúng.
b) $a(2)=12-6=6m/{\mathrm{s}}^2$ → đúng.
c) $v(t)=16\iff 3t^2-6t+7=16\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (vì $t>0$). Khi đó $a(3)=18-6=12m/{\mathrm{s}}^2\ne 10$ → sai.
d) $v(t)=3(t-1{)}^2+4\ge 4$, đạt giá trị nhỏ nhất $4m/s$ tại $t=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-6t+7$, nên $v(2)=12-12+7=7m/s$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-6$, nên $a(2)=6m/{\mathrm{s}}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=16\Rightarrow t=3$, khi đó $a(3)=12m/{\mathrm{s}}^2\ne 10m/{\mathrm{s}}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3(t-1{)}^2+4$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $4m/s$ tại $t=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+7$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$.
a) $v(2)=3\cdot 4-12+7=7(m/s)$ → Đúng.
b) $a(2)=12-6=6(m/s^2)$ → Đúng.
c) $v(t)=16\Rightarrow 3t^2-6t+7=16\Rightarrow 3t^2-6t-9=0\Rightarrow t^2-2t-3=0\Rightarrow t=3$ (nhận, $t>0$). Khi đó $a(3)=18-6=12(m/s^2)\ne 10$ → Sai.
d) $v(t)=3(t-1{)}^2+4\ge 4$, đạt最小 tại $t=1$ với giá trị nhỏ nhất $v(1)=4(m/s)$, không phải $5(m/s)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-6t+7$, $v(2)=12-12+7=7(m/s)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-6$, $a(2)=6(m/s^2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=16\Rightarrow t=3$, khi đó $a(3)=12(m/s^2)\ne 10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3(t-1{)}^2+4$ đạt giá trị nhỏ nhất $4(m/s)$ tại $t=1$, không phải $5(m/s)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $s(t)=\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$. a) Đạo hàm: $s^{\prime }(t)=\sqrt{2}\cdot 4\pi \cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, khẳng định a thiếu hệ số $4\pi$ nên SAI. b) $s^{\prime }(0)=4\pi \sqrt{2}\cos \frac{\pi }{6}=4\pi \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi \sqrt{6}$ → ĐÚNG. c) Gia tốc $a(t)=s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$; tại $t=3$: $4\pi \cdot 3+\frac{\pi }{6}=12\pi +\frac{\pi }{6}$ nên $\sin =\frac{1}{2}$, $a=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7cm/s^2$ → ĐÚNG. d) $v(t)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ nên $\frac{v^2(t)}{16{\pi }^2}=2{\cos }^2\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ và $s^2(t)=2{\sin }^2\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, cộng lại bằng $2$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $s^{\prime }(t)=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, khẳng định thiếu hệ số $4\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime }(0)=4\pi \sqrt{2}\cos \frac{\pi }{6}=4\pi \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\pi \sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^{\prime \prime }(t)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$; tại $t=3$, sin $=\frac{1}{2}$ nên $a=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7cm/s^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s^2(t)=2{\sin }^2\phi$, $\frac{v^2(t)}{16{\pi }^2}=2{\cos }^2\phi$ với $\phi =4\pi t+\frac{\pi }{6}$, tổng bằng $2$.