Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Giá trị tang của góc phẳng nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ bằng

Cho $a$ là số thực dương. Rút gọn của biểu thức $P=a^{\frac{4}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}$ được kết quả là

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a,AC=2a,SA\perp (ABC)$ và $SA=a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

Một xạ thủ bắn hai phát một cách độc lập vào một tấm bia. Biết rằng xác suất xạ thủ bắn trúng vòng 10 là 0,2 và vòng 9 là 0,25. Gọi $A$ là biến cố “Xạ thủ bắn trúng vòng 10 lần thứ nhất” và $B$ là biến cố “Xạ thủ bắn trúng vòng 10 lần thứ hai”.

Một tàu vũ trụ đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo phương thẳng đứng bằng cách kích hoạt động cơ hãm tốc. Trong 30 giây đầu tiên kể từ khi kích hoạt động cơ hãm tốc, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm số $h(t)=-0,01t^3+1,1t^2-30t+250$ (với $0\le t\le 30$), trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) và $h$ là độ cao tính bằng kilômét.

Giải phương trình: $3^{2x+1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2}$ . $(0,5điểm)$

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$, biết $d$ vuông góc với đường thẳng $\Delta :y=9x-4$ . $(0,5điểm)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\perp (ABCD)$ , $SA=4a$ .

a) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SAB)$ . $(1,0điểm)$

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ . $(1,0điểm)$

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SA$ và $T$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $ST=\frac{2}{3}SB$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(CMT)$ . $(1,0điểm)$