Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Giá trị tang của góc phẳng nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, $AB=a\sqrt{2}$, $AC=a$, $SB=a\sqrt{3}$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $\left[B,SA,C\right]$.

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc nhị diện $[A,B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }]$. Giá trị của $\tan \alpha$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a$ và $A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi $O$ và $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai mặt phẳng đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$.

a) Chứng minh rằng: $BD\perp (SAC)$; $(SAB)\perp (SBC)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$.

c) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các đường thẳng $SC$, $SD$ lần lượt tại $I$, $J$. Tính tỷ số $\frac{SJ}{SD}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, $SH\perp (ABC)$ với $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,SC$.
a) Chứng minh $BC\perp (SHE)$.
b) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng $(HEF)$ và $(ABC)$ biết $SH=4$, $BC=8$.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=a,AC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$.