Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$, $AB=a\sqrt{2}$, $AC=a$, $SB=a\sqrt{3}$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

b) Tính số đo góc nhị diện $\left[B,SA,C\right]$.

a) Gọi $D$ là hình chiếu của $S$ trên $mp\left(ABC\right)$. Ta có:

• $\{\begin{array}{l}AB\perp SB\\ AB\perp SD\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SBD\right)\Rightarrow AB\perp BD$.

• $\{\begin{array}{l}AC\perp SC\\ AC\perp SD\end{array}\Rightarrow AC\perp \left(SCD\right)\Rightarrow AC\perp CD$.

$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật.

Kẻ đường cao $DH$ của tam giác $SBD$. Ta có

$\{\begin{array}{l}DH\perp SB\\ DH\perp AB\end{array}\Rightarrow DH\perp \left(SAB\right)$.

Vì $CD//AB$ đường cao nên $d\left(C,\left(SAB\right)\right)=d\left(D,\left(SAB\right)\right)=DH$.

$BD=AC=a,SD=\sqrt{S{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}a\right)}^2-a^2}=\sqrt{2}a$

$\Rightarrow BH=\frac{SD\cdot BD}{\sqrt{S{D}^2+B{D}^2}}=\frac{a\cdot \sqrt{2}a}{\sqrt{a^2+{\left(\sqrt{2}a\right)}^2}}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

b) Trong mặt phẳng $\left(SAB\right)$ kẻ $BK\perp SA$, trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$ kẻ $CE\perp SA$, $KF//CE\Rightarrow KF\perp SA$.

Do đó $\widehat{BKF}$ là 1 góc phẳng của góc nhị diện $\left[B,SA,C\right]$.

Ta có:
$SC=\sqrt{S{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=2a$

$SA=\sqrt{S{B}^2+A{B}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=a\sqrt{5},BK=\frac{SB\cdot AB}{SA}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{30}}{5}$,

$CE=\frac{SC\cdot AC}{SA}=\frac{2a\cdot a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$,

$$\frac{SK}{SA}=\frac{S{B}^2}{S{A}^2}=\frac{3}{5},\frac{SE}{SA}=\frac{S{C}^2}{S{A}^2}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{SK}{SE}=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{SF}{SC}=\frac{KF}{CE}=\frac{3}{4}$$

$$\Rightarrow SF=\frac{3}{4}SC=\frac{3a}{2},KF=\frac{3}{4}CE=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$$

$$\cos \widehat{BSF}=\cos \widehat{BSC}=\frac{S{B}^2+S{C}^2-B{C}^2}{2.SB.SC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\Rightarrow BF=\sqrt{S{B}^2+S{F}^2-2.SB.SF.\cos \widehat{BSF}}=\frac{3a}{2}$$

$$\Rightarrow \cos \widehat{BKF}=\frac{B{K}^2+K{F}^2-B{F}^2}{2.BK.KF}=-\frac{\sqrt{6}}{6}\Rightarrow \widehat{BKF}\approx 114^0$$

Vậy số đo góc nhị diện $\left[B,SA,C\right]$ khoảng $114^0$.