Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{2}$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ bằng

Thể tích khối lập phương có cạnh $a\sqrt{3}$ bằng

Cho $a$ là số thực dương khác $3$, ${\log }_{\frac{a}{3}}\left(\frac{a^3}{27}\right)$ bằng

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3$, công bội $q=-\frac{1}{2}$. Số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho bằng

Tập xác định $D$ của hàm số $y=(x^2-1{)}^{\frac{2\pi }{3}}$ là

Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3;2;2)$ và $B(1;0;-2)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $\ln \frac{a}{c}+\ln \frac{b}{c^2}=0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau



Giá trị cực đại của hàm số bằng

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ sau?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=(e^{2x}-3)(x^2-x-2)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau



Số nghiệm thực của phương trình $3f(x)-5=0$ là

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{3}{\pi }}[{\log }_3(x-2)]>0$ là $(a;b)$. Giá trị của $b-a$ bằng

Gọi $z_1$ và $z_2=4+2i$ là hai nghiệm của phương trình $a{z}^2+bz+c=0$ ($a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0$). Khi đó $T=|z_1|+3|z_2|$ bằng

Biết ${\int }_0^4\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+3\sqrt{2x+1}+3}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{5}{3}$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính $T=2a+b+c$.

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2x$, $y=4-x^2$ khi nó quay quanh trục hoành là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f(x)dx=9$. Giá trị của $I={\int }_0^2[f(1-3x)+9]dx$ bằng

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2z+5=0$, trong đó $z_1$ có phần ảo dương. Tìm số phức $w=z_1^2+2z_2^2$.

Cho khối nón $(N)$ có bán kính đáy là $3$ và diện tích xung quanh là $15\pi$. Thể tích khối $(N)$ bằng

Tích tất cả các nghiệm của phương trình $2^{2x^2+5x+4}=4$ bằng

Biết rằng phương trình $4^x-3\cdot 2^x+m=0$ có một nghiệm $x=0$. Tính nghiệm còn lại.

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2+1$ với trục hoành là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$, $\Delta ABD$ đều cạnh $a\sqrt{2}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ (minh họa như hình bên).



Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho quay hình chữ nhật $ABCD$ ($AB>AD$) một vòng quanh cạnh $CD$ cố định, ta được một hình trụ. Biết diện tích hình chữ nhật bằng $4$ và chiều cao hình trụ bằng $\frac{10}{\pi }$. Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha ):x-2y-2z+4=0$ và $(\beta ):-x+2y+2z-7=0$ bằng

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao $a\sqrt{3}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;0;-3)$ và $\vec{b}=(-1;-2;0)$. Giá trị của $\cos (\vec{a},\vec{b})$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ với $A(2;-3;-1)$, $B(4;-1;2)$ có phương trình là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau



Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm $A(1;2;-3)$ và $B(3;-1;1)$ là

Số phức liên hợp của số phức $(2-i)z+3-4i=0$ là

Cho hình thang $ABCD$ có các cạnh đáy $AB=2a$, $CD=4a$ và cạnh bên $AD=BC=3a$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình thang khi quay quanh trục đối xứng của nó là

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau



Số nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ của phương trình $2f(\cos 2x-\sin x)+3=0$ là

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả giá trị của $m$ sao cho $3{\max }_{x\in \mathbb{R}}g(x)+{\min }_{x\in \mathbb{R}}g(x)=100$ của hàm số $g(x)=|f(2-\cos x)+m|$ ($m$ là tham số thực). Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng

Một hộp chứa $5$ viên bi đỏ, $6$ viên bi xanh và $7$ viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên $6$ viên bi từ hộp. Xác suất để được $6$ viên bi có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $g(x)=1+2020{\int }_0^{x}f(t)dt$, $\forall x\in [0;1]$ và $g(x)=f^2(x)$, $\forall x\in [0;1]$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}g(x)dx$ bằng

Có bao nhiêu số thực $x$ sao cho tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $3{\log }_2\left(\frac{8^x-2^x-12y}{3}\right)-2^x-x=3y$ và $4^{y-y^2-1}+(y+3{)}^2\le 8$?

Vào ngày 15 hàng tháng ông An đều đến gửi tiết kiệm tại ngân hàng số tiền 5 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn một tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi trong suốt quá trình gửi là $7,2\%$/năm. Vậy sau đúng ba năm kể từ ngày bắt đầu gửi ông An thu được số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $AB=a$, $SAB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $SD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $CN$ bằng

Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=1,AD=2$, cạnh bên $SA=1$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Khi đó diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE$ là

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều. Gọi $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Biết $A^{\prime }B$ vuông góc với $CM$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B,CM$ bằng $\sqrt{\frac{3}{10}}a$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2020;2020]$ để phương trình $2020^x+\frac{2x-1}{x+1}+\frac{mx-2m-1}{x-2}=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt?

Cho $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và bảng biến thiên $y=f^{\prime }(x)$ như sau



Số các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $g(x)=f(x)-\ln (x^2+1)-mx$ đồng biến trên $[-1;1]$ là

Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau



Bất phương trình $f(x)>2\cos x+3m$ đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi