Biết ${\int }_0^4\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+3\sqrt{2x+1}+3}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{5}{3}$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính $T=2a+b+c$.

Biết ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=3$, khi đó ${\int }_{-1}^1[2f(x)+1]dx$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Biết $f(0)=1$ và diện tích $S=\frac{16}{3}$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+6x+1$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Biết ${\int }_1^e(3x^2+2x)\ln xdx=\frac{a}{b}{e}^3+\frac{e^2}{c}+\frac{5}{6}$, ($a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $S=a+b+c$.

Người ta muốn trồng hoa trên một miếng đất hình tròn có bán kính bằng $5\text{ m}$. Họ dự định sẽ để lại một phần (phần màu trắng như hình vẽ, trong đó $AB=6\text{ m}$) để làm việc khác. Biết mỗi mét vuông trồng hoa cần chi phí 200 nghìn đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để có thể thực hiện dự định này?

Tích phân ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{{\sin }^{2}x}dx$ bằng

Giả sử ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{5}f(z)dz=9$. Tổng ${\int }_1^{3}f(t)dt+{\int }_3^{5}f(t)dt$ bằng