Tích phân ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{{\sin }^{2}x}dx$ bằng

Câu 2. Cho hai hàm số $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+1$ và $g(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích phần gạch chéo trong hình bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$ được tính theo công thức:

Tính tích phân $I={\int }_1^5\frac{dx}{1-2x}$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,x=2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.

Biết ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ (hoặc tương tự ${\int }_1^e\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=ae+b$). Tính $P=a\cdot b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Biết ${\int }_1^{4}x\cdot f^{\prime \prime }(x-1)dx=7$ và ${\int }_1^{2}2x\cdot f^{\prime }(x^2-1)dx=-3$. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $x=3$ là: