Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1,x=2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Biết hàm số $g(x)=[f^{\prime }(x){]}^2-2f^{\prime \prime }(x)f(x)+[f^{\prime \prime \prime }(x){]}^2$ có 3 điểm cực trị $x_1<x_2<x_3$ và $g(x_1)=2,g(x_2)=5,g(x_3)=1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)+1}$ và trục $Ox$ bằng

Để chuẩn bị CSVC phục vụ công tác phòng chống Covid-19, các chiến sĩ ở chốt kiểm soát dự định dựng một cái lều trại có dạng như hình vẽ:

Biết rằng mặt trước và mặt sau của trại là hai parabol bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và cùng vuông góc với mặt nền. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước chiều rộng là $4\text{ m}$ (lối vào lều), chiều dài là $6\text{ m}$, đỉnh parabol cách nền $3\text{ m}$. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.

Xét hình phẳng $(H)$ là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng $AB,AC$ và một phần parabol $(P)$ như hình vẽ. Biết $A$ trùng gốc tọa độ, $B(2;2),C(-2;2)$. Parabol $(P)$ có đỉnh $I(0;6)$ và qua 2 điểm $B,C$.



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng $(H)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

Cho hàm số $y=f(x)=\sqrt{x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=9$. Cho $M(m;\sqrt{m})$ là một điểm di động trên đồ thị $(C)$; gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=m$ ($0<m<9$) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Ông A có mảnh đất hình chữ nhật chiều dài $16\text{ m}$, chiều rộng $6\text{ m}$. Ông A muốn thiết kế mảnh đất đó thành ba phần bởi đường cong hypebol (như hình vẽ). Ông A dự định trồng hoa ở hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hypebol và chiều dài mảnh đất, phần đất còn lại ông lát đá. Biết chi phí trồng hoa là $150.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và lát đá là $300.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình, (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)