Biết ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ (hoặc tương tự ${\int }_1^e\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=ae+b$). Tính $P=a\cdot b$.

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=7$, khi đó ${\int }_0^2[f(x)+3g(x)]dx$ bằng

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{\ln x+4}}{x}dx=a\sqrt{5}+b$, trong đó $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $S=a+b$.

Cho ${\int }_0^m(3x^2-2x+1)dx=6$. Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Xét nguyên hàm $I=\int \frac{2x-1}{\sqrt{x+1}}dx$, khi thực hiện phép đổi biến $u=\sqrt{x+1}$, thì ta được

Cho hàm số $f(x)$ có $f(\sqrt{2})=-2$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}},\forall x\in \mathbb{R}$. Biết ${\int }_1^{\sqrt{7}}x\cdot f(x)dx=\frac{a\sqrt{3}+b}{c}$, với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P=a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)=3x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có ba điểm cực trị là $-2;-1$ và $1$. Gọi $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q$ ($m,n,p,q\in \mathbb{R}$) là hàm số đạt cực trị tại điểm $-2$ và có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ bằng