Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{\ln x+4}}{x}dx=a\sqrt{5}+b$, trong đó $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $S=a+b$.

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{2}g(x)\mathrm{d}x=-2$ thì ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-3$ và ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-3$ và ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=-7$ thì ${\int }_3^5[2+f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{6}{x}^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Biết hàm số $g(x)=[f^{\prime }(x){]}^2-2f^{\prime \prime }(x)f(x)+[f^{\prime \prime \prime }(x){]}^2$ có 3 điểm cực trị $x_1<x_2<x_3$ và $g(x_1)=2,g(x_2)=5,g(x_3)=1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)+1}$ và trục $Ox$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$. Tính tích phân $I={\int }_1^{3}f(x)dx$.

Tích phân ${\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx$ bằng