Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${\log }_3{a}^2+{\log }_{1/3}b=2$. Giá trị của $\frac{a}{\sqrt{b}}$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x=3$ là

Với $a$ là số thực dương tuỳ ý, ${\log }_3(3a^2)$ bằng

Nghiệm của phương trình $3^{x+2}=27$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(2x-3)=4$ là

Trong vật lý, sự phóng xạ của chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức $m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, trong đó $m_0$ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm $t=0$); $T$ là chu kì bán rã. Biết chu kì bán rã của Cácbon ${}^{14}\text{C}$ là khoảng $5730$ năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cácbon và xác định được nó mất khoảng $25\%$ lượng Cácbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó bao nhiêu tuổi?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[0;2021]$ sao cho phương trình sau có nghiệm:
$${\ln }^3(x+m)+m^3+3m{e}^x\ln (x+m)=e^{3x}$$