Nếu ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-3$ và ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=-7$ thì ${\int }_3^5[2+f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$. Tính tích phân $I={\int }_1^{3}f(x)dx$.

Tích phân ${\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx$ bằng

Cho tích phân ${\int }_0^1(2x+1)e^{x}dx=a+be$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $S=a+b$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+3x+a& \text{khi }x\ge 0\\ bx+5& \text{khi }x<0\end{array}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ ($a,b$ là các tham số thực). Tích phân $I={\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(2\cos x+1)\sin xdx$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ là đường cong như hình dưới. Biết $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa $x_2=x_1+2$ và $4f(x_1)=5f(x_2)$. Đường thẳng $d$ qua điểm uốn $U$ của $(C)$ và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất cắt $(C)$ tại hai điểm khác $U$ có hoành độ $x_3,x_4$ thỏa mãn $x_4-x_3=4$. Gọi $S_1,S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên bằng