Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn bất phương trình
$\left[{\log }_5^2(5x)-6{\log }_{5}x+2\right]\sqrt{32-2^{x-121}}\le 0?$

Điều kiện xác định của bất phương trình:
$\{\begin{array}{l}x>0\\ 32-2^{x-121}\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ 2^{x-121}\le 32=2^5\end{array}\iff 0<x\le 126.$

Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $\sqrt{32-2^{x-121}}=0\iff x=126$. Khi đó vế trái bằng $0\le 0$, do đó $x=126$ là một nghiệm nguyên thỏa mãn.
- Trường hợp 2: Với $0<x<126$, ta có $\sqrt{32-2^{x-121}}>0$. Bất phương trình tương đương với:
${\log }_5^2(5x)-6{\log }_{5}x+2\le 0.$
Biến đổi ${\log }_5(5x)=1+{\log }_{5}x$, ta có:
$(1+{\log }_{5}x{)}^2-6{\log }_{5}x+2\le 0\iff {\log }_5^{2}x-4{\log }_{5}x+3\le 0\iff 1\le {\log }_{5}x\le 3\iff 5\le x\le 125.$
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{5,6,\dots ,125\}$, số lượng nghiệm nguyên trong khoảng này là $125-5+1=121$ nghiệm.

Kết hợp cả hai trường hợp, tổng số nghiệm nguyên thoả mãn bất phương trình đã cho là $121+1=122$ nghiệm nguyên.

Chọn đáp án B.