Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:



Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm thực của phương trình $f^{\prime }(f({\mathrm{e}}^x))=0$. Số phần tử của $S$ là

Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$, ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị là $x=-1,x=0,x=1$.
Do đó:
$f^{\prime }(u)=0\iff [\begin{array}{rl}u& =-1\\ u& =0\\ u& =1.\end{array}$
Đặt $t={\mathrm{e}}^x>0$. Phương trình $f^{\prime }(f({\mathrm{e}}^x))=0$ trở thành:
$f^{\prime }(f(t))=0\iff [\begin{array}{rl}f(t)& =-1\\ f(t)& =0\\ f(t)& =1.\end{array}$
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên miền $t>0$:
- Phương trình $f(t)=-1$: đường thẳng $y=-1$ cắt nhánh đi xuống bên phải của đồ thị tại đúng 1 điểm có hoành độ $t_1>1$.
- Phương trình $f(t)=0$: đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị tại điểm $t=0$ (loại vì $t>0$) và cắt nhánh đi xuống bên phải tại đúng 1 điểm có hoành độ $t_2>1$ ($t_2\ne t_1$).
- Phương trình $f(t)=1$: đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $t=1>0$ (hoặc cắt tại nhánh dương), cho đúng 1 nghiệm dương $t_3>0$.
Ba nghiệm dương $t_1,t_2,t_3$ đôi một khác nhau.
Với mỗi giá trị $t_k>0$, phương trình ${\mathrm{e}}^x=t_k$ cho duy nhất 1 nghiệm thực $x=\ln t_k$.
Vậy phương trình $f^{\prime }(f({\mathrm{e}}^x))=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt, tức số phần tử của $S$ là 3.

Chọn đáp án A.