Xét số phức $z$ có phần thực âm và thoả mãn $|z-1|=2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+3-\mathrm{i}|+|z-\sqrt{3}\mathrm{i}|+|z+\sqrt{3}\mathrm{i}|$ bằng

Gọi $M$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Từ giả thiết $|z-1|=2$, tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$.
Phương trình đường tròn $(I;2)$ là: $(x-1{)}^2+y^2=4$.
Vì số phức $z$ có phần thực âm ($x<0$), nên quỹ tích của điểm $M$ là cung nhỏ nối hai giao điểm của đường tròn $(I;2)$ với trục tung $Oy$.
Cho $x=0\Rightarrow (0-1{)}^2+y^2=4\iff y^2=3\iff y=\pm \sqrt{3}$.
Đặt các điểm:
$A(3;0),B(0;\sqrt{3}),C(0;-\sqrt{3}),D(-3;1).$
Nhận xét tam giác $ABC$:
- $AB=\sqrt{(0-3{)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $AC=\sqrt{(0-3{)}^2+(-\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $BC=\sqrt{0^2+(-\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{3}$.
Do đó tam giác $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $(I;2)$.

Với điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, theo định lý Ptolemy áp dụng cho tứ giác nội tiếp $ABMC$:
$MA\cdot BC=MB\cdot AC+MC\cdot AB.$
Vì $AB=BC=CA=2\sqrt{3}$ nên:
$MA=MB+MC.$
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:
$P=|z-(-3+\mathrm{i})|+|z-\sqrt{3}\mathrm{i}|+|z-(-\sqrt{3}\mathrm{i})|=MD+MB+MC.$
Thay $MB+MC=MA$, ta có:
$P=MD+MA.$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác đối với ba điểm $D,M,A$:
$P=MD+MA\ge DA.$
Đoạn thẳng $DA$ có độ dài:
$DA=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{6^2+(-1{)}^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}.$
Đẳng thức xảy ra khi điểm $M$ chính là giao điểm của đoạn thẳng $AD$ với cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(I;2)$.
Vì $D(-3;1)$ và $A(3;0)$ nằm ở hai phía so với trục tung $Oy$, nên đoạn thẳng $AD$ cắt cung nhỏ $BC$ tại đúng 1 điểm $M$ có hoành độ âm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\sqrt{37}$.

Chọn đáp án B.