Cho hai số phức $z,w$ thoả mãn $|z-\sqrt{5}|+|z+\sqrt{5}|=6$ và $|w+5-4i|=|w+3-3i|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P=|z-w|$ bằng $\frac{a\sqrt{5}+b\sqrt{2}}{10}$, với $a,b$ là các số nguyên. Tính $S=a+b$.

Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể (Lithotripter) hoạt động dựa trên tính chất quang học của đường elip. Thiết bị này có một mặt phản xạ có mặt cắt là một nửa đường elip. Khi hoạt động, nguồn phát sóng xung kích được đặt tại tiêu điểm $F_1$ của elip, và viên sỏi thận của bệnh nhân được bác sĩ định vị chính xác tại tiêu điểm $F_2$ còn lại. Theo tính chất của elip, mọi tia sóng phát ra từ $F_1$ sau khi chạm vào mặt phản xạ đều hội tụ chính xác tại $F_2$, tạo ra năng lượng đủ lớn để phá vỡ viên sỏi mà không cần phẫu thuật. Một thiết bị tán sỏi thận có mặt cắt là một nửa đường elip với độ dài trục lớn là $20\text{ cm}$ và khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm của elip là $8\text{ cm}$. Xét một tia sóng phát ra từ nguồn $F_1$, đi theo phương vuông góc với trục lớn tại chính vị trí tiêu điểm $F_1$, chạm vào mặt phản xạ tại điểm $M$ rồi truyền đến viên sỏi tại tiêu điểm $F_2$. Tính độ dài quãng đường $M{F}_2$ (đơn vị: $\text{cm}$) từ điểm phản xạ đến viên sỏi.

Câu 1. Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt đi qua trục của tháp là hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{60^2}-\frac{y^2}{30^2}=1$ (đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Biết chiều cao của tháp là $120\text{ m}$ và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng tới đáy. Tính bán kính nóc của tháp (kết quả tính theo đơn vị mét).

Tọa độ các tiêu điểm của hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ là

a) Cho điểm M nằm trên hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$. Biết hoành độ điểm M bằng 8, tính khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của hypebol.

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết $(H)$ có một tiêu điểm là $F_2(3;0)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-2$.

Đường thẳng nào sau đây là đường chuẩn của parabol $y^2=\frac{3}{2}x$?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.