Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z{|}^2=2|z+\bar{z}|+4$ và $|z-1-i|=|z-3+3i|$?

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $(200;70;118)$. Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $(80;105;113)$?

Câu 4. Một chiếc máy bay thương mại Vietnam Airlines đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ $D$ đến $E$ có hình chiếu trên mặt đất là đoạn $CB$. Tại vị trí $D$ thì máy bay bay cách mặt đất $9000\text{ m}$, tại vị trí $E$ thì máy bay cách mặt đất $12000\text{ m}$. Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí $O$ cách $C$ khoảng $20000\text{ m}$, cách $B$ khoảng $16000\text{ m}$ và góc $\widehat{BOC}=90^{\circ }$; phạm vi theo dõi của ra đa là $20\text{ km}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1000\text{ m}$) với $O$ là vị trí đặt ra đa, $B$ thuộc tia $Oy$, $C$ thuộc tia $Ox$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left|\frac{(2-i)z-3i-1}{z-i}\right|=2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $w=\frac{1}{iz+1}$. Xét các số phức $w_1,w_2\in S$ thỏa mãn $|w_1-w_2|=2$, giá trị lớn nhất của $P=|w_1-4i{|}^2-|w_2-4i{|}^2$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+i|=|z-1+2i|$ và $|w|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-5+3i|-|z-w|$ bằng

Ở một số vùng quê ở Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, đám hỏi... Bác An tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật $ABCD$ có độ dài các cạnh lần lượt là $AB=5\text{ m}$ và $AD=12\text{ m}$. Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác An xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $5\text{ cm}$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $8\text{ cm}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ để xác định xem vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu $\text{cm}$?

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=\left|\frac{z-18}{z-2}\right|$ và có phần ảo âm. Môđun của số phức $\frac{z+4i}{z-2i}$ bằng