Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $(200;70;118)$. Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $(80;105;113)$?

Câu 4. Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và điểm $M(x;y;z)$ (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm $7$ giờ máy bay đang ở vị trí có tọa độ $(50;120;4)$ và chuyển động với vận tốc $\vec{v}=(300;400;3)$ (km/h). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị tính theo đơn vị km.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, một chiếc điện thoại iphone được đặt trên một giá đỡ có ba chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các điểm chạm mặt đất của ba chân lần lượt là $A(0;-6;0)$, $B(3\sqrt{3};3;0)$, $C(-3\sqrt{3};3;0)$ (đơn vị cm). Cho biết điện thoại có trọng lượng là $2\text{ N}$. Gọi ba lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ tác dụng tại $S$ và có phương lần lượt theo các đoạn $SA,SB,SC$ có độ lớn bằng nhau. Biết tọa độ của lực ${\vec{F}}_1=(a;b;c)$, khi đó $T=2a+5b+6c$ bằng?

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{ m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000\text{ km}$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ NASA đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $4600\text{ km}$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000\text{ km}$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ $v_1=2\sqrt{2}\cdot 10^3\text{ km/h}$ không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm $M(0;5;12)$ đến $N(12;5;0)$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$; trục $Oz$ hướng lên (đơn vị trên mỗi trục là 1 km). Tại cùng một thời điểm, một radar phát hiện một máy bay tại $A(0;0;10)$ bay theo hướng $\vec{v}=(-4;3;0)$ không đổi và một xe tăng tại $O$ di chuyển theo hướng $\vec{u}=(3;4;0)$ không đổi. Sau 20 giây radar xác định được vị trí máy bay tại $B(-8;6;10)$ và xe tăng tại $E\left(\frac{3}{20};\frac{1}{5};0\right)$.

Câu 4. Trong một xưởng kiểm định cảm biến quang học, người ta thiết lập hệ trục $Oxyz$, đơn vị mét. Một nguồn sáng điểm được đặt tại $S(4;-2;3)$. Một tấm chắn sáng hình chữ nhật có kích thước $2,4\text{ m}\times 1,7\text{ m}$. Tâm $I$ của tấm chắn trượt trên thanh ray là đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=s\\ y=2\\ z=1\end{array}(s>0)$. Trong suốt quá trình chuyển động, mặt phẳng chứa tấm chắn luôn vuông góc với đường thẳng $d$. Ban đầu, tâm tấm chắn ở vị trí $I_0(9;2;1)$. Kể từ lúc bắt đầu trượt, tấm chắn chuyển động thẳng đều theo chiều dương của trục $Ox$ với vận tốc $0,65\text{ m/s}$. Bóng của tấm chắn được hứng trên màn đo phẳng có phương trình $(P):x=36$. Tại thời điểm tâm $I$ của tấm chắn cách nguồn sáng $S$ một khoảng $18\text{ m}$, **tốc độ giảm diện tích bóng của tấm chắn** trên màn đo bằng bao nhiêu ${\text{m}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 2. Trong một ca trực tại Trạm kiểm soát không lưu sân bay Tân Sơn Nhất, các kỹ sư ra-đa thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét) với gốc $O(0;0;0)$ là vị trí đặt tháp điều hành không lưu.
Lúc $8$ giờ sáng, hệ thống theo dõi một máy bay thương mại đang ở vị trí $M_0(50;120;4)$ (nghĩa là cách tháp điều hành $50\text{ km}$ về hướng Đông, $120\text{ km}$ về hướng Bắc và ở độ cao $4\text{ km}$). Máy bay đang bay ổn định với véc-tơ vận tốc không đổi là $\vec{v}=(300;400;3)$ (đơn vị: $\text{km/h}$).