Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 12m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất $l$ (đơn vị mét) của cây cầu là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số hàng phần chục), biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$;
- Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm $I$ của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận, mỗi tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để nhà máy $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì nhà máy $A$ cần bán cho nhà máy $B$ khoảng bao nhiêu tấn sản phẩm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x\in \mathbb{N};1\le x\le 300)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $G(x)=300+\frac{100}{x}$ (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất $x$ sản phẩm là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 4. Ông Khoa muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là $400.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu? (Đơn vị tính triệu đồng)

Câu 7. Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là $R=3\sqrt{3}\text{ cm}$. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 6. Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $Q=5000-\frac{P}{3}$, $C(Q)=Q^2+2200Q+500$, trong đó $Q$ là số sản phẩm và $P$ là giá bán của một sản phẩm. Hãy xác định mức thuế $t$ cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận là cao nhất và Nhà Nước thu được tiền thuế nhiều nhất.

Câu 4. Một công viên hình tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=40\text{ m}$, $AC=20\text{ m}$ và cạnh $BC$ tiếp giáp với đường nội đô. Trong công viên, người ta xây dựng một vườn hoa được giới hạn bởi đường parabol và hai cạnh $AB,AC$ của công viên, biết parabol có đỉnh là trung điểm của $AB$ và đi qua trung điểm của $AC$ (như hình vẽ).



Người ta muốn mở một con đường nhỏ rẽ từ đường nội đô đến vườn hoa, phục vụ cho việc chăm sóc hoa. Để tiết kiệm chi phí, người ta muốn mở con đường nói trên có chiều dài ngắn nhất. Hãy tính chiều dài con đường ngắn nhất đó (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).