Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8m, 9m, 10m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 6m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $B\in Ox$, $C\in Oy$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Chọn gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).

Lời giải chi tiết:
c) Đúng: Vì tam giác đều cạnh 6m trên mặt phẳng sàn $(Oxy)$ có $O$ là trung điểm $AC$ thuộc $Oy$ nên $A(0;-3;0)$, $C(0;3;0)$. Chiều cao tam giác đều $OB=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\Rightarrow B(3\sqrt{3};0;0)$. Các cột trụ có chiều cao lần lượt là 10m (tại A), 9m (tại B), 8m (tại C) nên $A^{\prime }(0;-3;10)$, $B^{\prime }(3\sqrt{3};0;9)$, $C^{\prime }(0;3;8)$.
a) Đúng: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(3\sqrt{3};3;-1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;6;-2)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}]=(0;6\sqrt{3};18\sqrt{3})=6\sqrt{3}(0;1;3)$. Do đó $\vec{n}=(0;1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
b) Sai: Mặt sàn $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc dốc $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{|0\cdot 0+1\cdot 0+3\cdot 1|}{\sqrt{0^2+1^2+3^2}\cdot 1}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,9487\Rightarrow \alpha \approx 18,43^{\circ }\notin [27^{\circ };35^{\circ }]$.
d) Sai: Mặt phẳng $(ABC)$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec{k}=(0;0;1)$, không phải $(0;1;0)$.