Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

Chọn A. Bình phương hai vế của phương trình ta được: $x^2+3x=x+8\iff x^2+2x-8=0\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}$. Thay hai nghiệm vào PT đã cho đều thỏa mãn nên phương trình đã cho có hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2+3x-2\ge 0$ và $1+x\ge 0\iff x\ge -1$. Bình phương hai vế: $x^2+3x-2=1+x\iff x^2+2x-3=0\iff (x-1)(x+3)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Với $x=-3$ thì $1+x=-2<0$ (loại vì không thỏa điều kiện). Với $x=1$: hai vế bằng $\sqrt{2}$, thỏa mãn. Vậy tập nghiệm là $\{1\}$, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1\ge 0\iff x\ge 1$ và $x-3\ge 0\iff x\ge 3$. Bình phương hai vế: $x-1=(x-3{)}^2\iff x-1=x^2-6x+9\iff x^2-7x+10=0\iff x=2$ hoặc $x=5$. Với $x=2<3$ (loại, thử lại $\sqrt{1}=1\ne -1$); với $x=5$: $\sqrt{4}=2=5-3$ (thỏa mãn). Vậy phương trình có đúng $1$ nghiệm nguyên dương là $x=5$. Đáp án B (đề in trùng nhãn B cho phương án $2$, nhưng đáp số đúng là $1$).

$\Rightarrow -x^2+5x-4=-2x^2+4x+2$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow x^2+x-6=0$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=-3\end{array}\right]$ (0,25 điểm)
Thử lại và kết luận nghiệm $x=2$ (0,25 điểm)

$\Rightarrow 2x^2+7x+1=3x^2+4x-9$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow x^2-3x-10=0$ (0,25 điểm)
$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x=5\\ x=-2\end{array}\right]$ (0,25 điểm)
Thử lại và kết luận $x=5$ là nghiệm. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (cả hai vế đều không âm nên tương đương): $x^2+1=x+1\iff x^2-x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Kiểm tra điều kiện $x+1\ge 0$: cả hai giá trị đều thỏa. Vậy phương trình có 2 nghiệm, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức dưới căn đều xác định vì $x^2-x+1>0$ với mọi $x$): $3x^2-x-3=x^2-x+1\iff 2x^2=4\iff x=\pm \sqrt{2}$. Thử lại: với $x=\sqrt{2}$, $3x^2-x-3=3-\sqrt{2}>0$; với $x=-\sqrt{2}$, $3x^2-x-3=3+\sqrt{2}>0$, cả hai đều thỏa. Tích các nghiệm $=\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})=-2$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các vế đều không âm): $2x^2-3x+8=3x^2+x-4\iff x^2+4x-12=0\iff (x-2)(x+6)=0$, được $x=2$ hoặc $x=-6$. Thử lại: với $x=2$, hai vế bằng $\sqrt{10}$; với $x=-6$, hai vế bằng $\sqrt{98}$. Cả hai đều thỏa, vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới căn cùng dấu, và khi bằng nhau chỉ cần một trong hai không âm): $2x^2-3x+8=3x^2+x-4\iff x^2+4x-12=0\iff (x-2)(x+6)=0$, nên $x=2$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra: tại $x=2$, $2x^2-3x+8=10>0$; tại $x=-6$, $2x^2-3x+8=98>0$. Cả hai giá trị đều thỏa mãn, vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\Rightarrow -x^2-7x-6=0\iff x^2+7x+6=0\iff x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$ (tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$): cả hai nghiệm đều thỏa mãn (thay vào thấy hai vế bằng nhau: tại $x=-1$ cả hai vế bằng 0; tại $x=-6$ cả hai vế bằng $\sqrt{55}$).
a) Sai: phương trình đúng là $-x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) Sai: tại $x=1$ vế trái $=\sqrt{-8}$ không xác định, nên $x=1$ không phải nghiệm.
c) Đúng: tổng các nghiệm $-1+(-6)=-7$.
d) Sai: phương trình có đúng 2 nghiệm, không nhiều hơn 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế và chuyển vế được $-x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$, $x^2-4x-5=-8<0$ nên biểu thức không xác định; $x=1$ không phải nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+7x+6=0$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$ đều thỏa điều kiện, tổng bằng $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có đúng 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{-4x^2-5x+10}=\sqrt{3x^2+2x-7}$ tương đương với $-4x^2-5x+10=3x^2+2x-7$ và $3x^2+2x-7\ge 0$. Giải $7x^2+7x-17=0$: $\Delta =49+476=525$, $x=\frac{-7\pm 5\sqrt{21}}{14}$, tức $x_1\approx 1,136$ và $x_2\approx -2,136$. Điều kiện $3x^2+2x-7\ge 0$ cho $x\le \frac{-1-\sqrt{22}}{3}\approx -1,897$ hoặc $x\ge \frac{-1+\sqrt{22}}{3}\approx 1,230$. So sánh: $x_1\approx 1,136$ không thỏa vì $1,136<1,230$; $x_2\approx -2,136$ thỏa vì $-2,136\le -1,897$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0$, nên ý a) sai (đáp án đúng là $x^2+7x+6=0$, không phải $x^2+7x+5=0$). Giải được $x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$: cả hai thỏa mãn. Thử $x=-1$: hai vế đều bằng 0, nên $x=-1$ là nghiệm, ý b) đúng. Thử $x=-6$: hai vế đều bằng $\sqrt{55}$, thỏa mãn. Tổng các nghiệm là $-1+(-6)=-7\ne -5$, ý c) sai. Phương trình có 2 nghiệm nên nhiều hơn 1 nghiệm, ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0$, không phải $x^2+7x+5=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1$: vế trái $=\sqrt{1+4-5}=0$, vế phải $=\sqrt{2-3+1}=0$, hai vế bằng nhau nên $x=-1$ là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình sau khi bình phương là $x^2+7x+6=0$ với hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$ (đều thỏa điều kiện). Tổng các nghiệm là $-7$, không phải $-5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=-6$, tức nhiều hơn 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (điều kiện cả hai biểu thức dưới căn không âm): $-4x^2-5x+10=3x^2+2x-7\iff 7x^2+7x-17=0$, nên $x=\frac{-7\pm \sqrt{525}}{14}=\frac{-7\pm 5\sqrt{21}}{14}$. Kiểm tra điều kiện $3x^2+2x-7\ge 0$: nghiệm của $3x^2+2x-7=0$ là $x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{3}\approx -1,535$ và $0,869$. Hai nghiệm $x_1\approx 1,137\ge 0,869$ và $x_2\approx -2,136\le -1,535$ đều thỏa mãn. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff -x^2-7x-6=0\iff x^2+7x+6=0\iff x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$ (tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$): với $x=-1$, hai vế đều bằng 0; với $x=-6$, hai vế đều bằng $\sqrt{55}$. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$.
a) Sai: bình phương hai vế và chuyển vế được $-x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) Sai: với $x=1$ thì $x^2-4x-5=-8<0$, không thỏa mãn điều kiện (và $1$ không phải nghiệm của $x^2+7x+6=0$).
c) Đúng: tổng các nghiệm $-1+(-6)=-7$.
d) Sai: phương trình chỉ có 2 nghiệm, không nhiều hơn 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff -x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$: $x^2-4x-5=-8<0$ nên không thỏa mãn điều kiện có nghĩa; $x=1$ không là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $x^2+7x+6=0$ với nghiệm $x=-1,x=-6$ (đều thỏa điều kiện), tổng bằng $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là $x=-1$ và $x=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-3x+2\ge 0$ và $x-1\ge 0$, tức $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+2=x-1\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=3$, đều thỏa điều kiện. Kiểm tra: $x=1$: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ đúng; $x=3$: $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ đúng. Tổng các nghiệm $=1+3=4$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-3\ge 0\iff x\ge \frac{3}{2}$. Phương trình $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{2x-3}$ bình phương hai vế: $x^2-5x+4=2x-3\iff x^2-7x+7=0$. Hai nghiệm là $x=\frac{7\pm \sqrt{21}}{2}$. Kiểm tra điều kiện: $\frac{7-\sqrt{21}}{2}\approx 1,21<\frac{3}{2}$ bị loại; $\frac{7+\sqrt{21}}{2}\approx 5,79$ thỏa mãn. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm $x=\frac{7+\sqrt{21}}{2}$, tổng các nghiệm bằng $\frac{7+\sqrt{21}}{2}$. Khớp đáp án B.

Bình phương hai vế ta được:

$$4x^2+5x+7=x+15$$
$$\iff 4x^2+4x-8=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$$

Thử lại ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,x=-2$.

(Điểm: 0,75 + 0,25)

Bình phương hai vế ta được:

$$4x^2-x+1=x+3$$
$$\iff 4x^2-2x-2=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Thử lại ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,x=-\frac{1}{2}$.

(Điểm: 0,75 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2-x\ge 0\iff x\le 2$. Bình phương hai vế: $x^2+2x+4=2-x\iff x^2+3x+2=0\iff (x+1)(x+2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=-2$ (đều thỏa điều kiện). Tổng các nghiệm: $-1+(-2)=-3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $x+3\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Kiểm tra: $x=0$ không phải số nguyên dương; $x=5$ thỏa mãn ($\sqrt{25-20+3}=\sqrt{8}=\sqrt{5+3}$). Vậy có đúng 1 nghiệm nguyên dương, chọn C.