Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

**Chọn C**

Gọi A là hình chiếu của A(2;0;1) lên ( ) .

Ta có B    . Gọi d là đường thẳng nằm trong ( ) và cắt đường thẳng AB , thỏa mãn góc
giữa hai đường thẳng AB và d bằng góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
2 6
( )  d  AB  kc  A, d   kc  A,      .
6 3

Với phương trình chính tắc của $(d)$ theo tham số $t$: $N(1+t;2t;-2+t)\in (d)$ và $M(0;0;m)\in Oz$.
Vì $\overrightarrow{MN}=(1+t;2t;t-2-m)$ song song với $(P)$ nên $3(1+t)-2t+(t-2-m)=0\iff m=2t+1$.
Khi đó $M{N}^2=(t+1{)}^2+4t^2+(t+3{)}^2=6t^2+8t+10=6{\left(t+\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{22}{3}\ge \frac{22}{3}\Rightarrow M{N}_{\min }=\sqrt{\frac{22}{3}}\approx 2,71$. Đáp án: 2,71.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;-1;0)$ nên $d\perp (P)$ tại giao điểm $H(2;2;2)$.
Vì $M\in (P)$ và $d(M,d)=MH=2$, nên $M$ thuộc đường tròn $(C_1)$ trong mặt phẳng $(P)$ có tâm $H(2;2;2)$, bán kính $R_1=2$.
Với $N(x;2;z)\in (P)$, hệ thức $NA=2NB\iff N{A}^2=4N{B}^2$:
$(x+2{)}^2+(-8{)}^2+(z-22{)}^2=4[(x-1{)}^2+2^2+(z-16{)}^2]\iff (x-2{)}^2+(z-14{)}^2=36.$
Suy ra $N$ thuộc đường tròn $(C_2)$ trong mặt phẳng $(P)$ có tâm $K(2;2;14)$, bán kính $R_2=6$.
Ta có $HK=|14-2|=12>R_1+R_2=8$, nên khoảng cách nhỏ nhất giữa $M$ và $N$ là:
$M{N}_{\min }=HK-R_1-R_2=12-2-6=4.$ Đáp số: 4.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần III, câu 18) có đáp số là $1004$.

Vì $C\in d$ nên tọa độ của $C$ có dạng $C(1+2t;-1-t;4+t)$.
Do $C$ là trung điểm của $AB$ nên $B=2C-A$, suy ra:
$x_B=2(1+2t)-1=1+4t,$
$y_B=2(-1-t)-2=-4-2t,$
$z_B=2(4+t)-(-1)=9+2t.$
Vì $B\in (P)$ nên thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$(1+4t)+3(-4-2t)-2(9+2t)+3029=0$
$⟺1+4t-12-6t-18-4t+3029=0$
$⟺-6t+3000=0⟺t=500.$
Với $t=500$, tọa độ điểm $C$ là:
$a=1+2(500)=1001,$
$b=-1-500=-501,$
$c=4+500=504.$
Vậy $a+b+c=1001+(-501)+504=1004$.

Đường thẳng $d$ qua $A(1;2;-3)$ có VTCP ${\vec{n}}_Q=(3;4;-4)$ cắt $(P)$ tại $B(-2;-2;1)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P)$ là $H(-3;-2;-1)$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và $M\in (P)$ nên $MB\le HB=\sqrt{(-2+3{)}^2+(-2+2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{5}$. Chọn A.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(-3;0;1)$ và nằm trong mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ song song với $(P)$. Khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $\Delta$ đi qua hình chiếu vuông góc $H$ của $B$ lên $(Q)$. Khi đó $\overrightarrow{AH}$ cùng phương với $(26;11;-2)$, nên phương trình $\Delta$ là $\frac{x+3}{26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$.

Chọn B

23
 
Gọi ( Q ) là mặt phẳng đi qua A ( 0; 2;1) và song song với ( P ) $\Rightarrow$ nQ = nP = ( 2; -1;0 ) .
Phương trình mặt phẳng ( Q ) : 2 x - y + 2 = 0 .
Vì đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng với mặt phẳng ( P ) nên d $\subset$ ( Q ) .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của B lên đường thẳng d và mặt phẳng ( Q ) .
Khi đó d ( B; ( d ) ) = BH \ge BK . Suy ra d ( B; d )min = BK $\iff$ H  K .
 
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) $\Rightarrow$ u$\Delta$ = n p = ( 2; -1;0 ) .
x = 1 + 2t

Phương trình tham số $\Delta$ : y = 2 - t . Lấy H (1 + 2t ; 2 - t ;3) $\in$ $\Delta$ .
z = 3

2
Vì H $\in$ ( Q ) nên 2 (1 + 2t ) - 2 + t + 2 = 0 $\iff$ t = - .
5
 1 12   1 2  1
Suy ra H  ; ;3  . Khi đó AH =  ; ; 2  = (1; 2;10 ) .
5 5  5 5  5

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là ud = (1; 2;10 ) $\Rightarrow$ a = 2, b = 10 .
Vậy a + 2b = 2 + 2.10 = 22 .

Chọn D

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(1;2;3)$ trên đường thẳng $d$. Tham số hóa $H(-1-2t;t;1+t)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(-2-2t;t-2;t-2)$. Vì $\overrightarrow{AH}\perp {\vec{u}}_d(-2;1;1)$ nên $-2(-2-2t)+(t-2)+(t-2)=0\iff 6t=0\iff t=0$. Khi đó $\overrightarrow{AH}=(-2;-2;-2)=-2(1;1;1)$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), đáp án được chọn là D: $(1;-1;1)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $BC$. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d(M,BC)=\frac{1}{2}d(A,BC)$. Do đó $d(M,BC)$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $d(A,BC)$ đạt giá trị lớn nhất. Vì $G\in d\Rightarrow G(2a-1;a+2;-a-2)$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}\Rightarrow I\left(3a-1;\frac{3}{2}a+2;-\frac{3}{2}a-4\right)$. Điểm $I\in (P)$ nên $2(3a-1)+\left(\frac{3}{2}a+2\right)+\left(-\frac{3}{2}a-4\right)-8=0\iff 6a-12=0\iff a=2$. Do đó điểm $I(5;5;-7)$ là một điểm cố định thuộc $(P)$. Khi đó đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm cố định $I$. Ta có $d(A,BC)\le AI$, dấu '=' xảy ra khi $AI\perp BC$. Lại có $BC\subset (P)$ nên đường thẳng $BC$ nhận ${\vec{u}}_{BC}=[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]$ làm vectơ chỉ phương. Ta có $A(-1;2;2),I(5;5;-7)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(6;3;-9)=3(2;1;-3)$, và ${\vec{n}}_P=(2;1;1)$. Do đó $[\overrightarrow{AI},{\vec{n}}_P]=3(1\cdot 1-(-3)\cdot 1;(-3)\cdot 2-2\cdot 1;2\cdot 1-1\cdot 2)=3(4;-8;0)=12(1;-2;0)$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ là ${\vec{u}}_3=(1;-2;0)$. Chọn B.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;2;-1)$, song song với $(P)$ nên vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)\perp {\vec{n}}_P=(1;1;-2)\Rightarrow a+b-2c=0$. Thiết lập hàm khoảng cách giữa $\Delta$ và trục $Oz$, tìm giá trị nhỏ nhất đạt được khi $\vec{u}=(1;-1;0)=\frac{1}{2}(2;-2;0)$. Phương trình $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{0}$. Chọn C.

Chia hai vế phương trình của $S$ cho $i$ ta được $|z{|}^2+(2-i)z+(2+i)\bar{z}-4=0⟺|z+2+i{|}^2=9$, nên $S$ là đường tròn tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=3$. Đặt $w=x+yi$ ($x\ne 0$), $\frac{w}{\bar{w}+6i}=\frac{(x+yi)[x-(y-6)i]}{x^2+(y-6{)}^2}$ là số thực khi phần ảo $x(2y-6)=0⟹y=3$, nên $T$ là đường thẳng $d:y=3$ (bỏ điểm $(0;3)$). Vì $|z_1-z_2|=6=2R$ nên $z_1,z_2$ là hai đầu đường kính của đường tròn $(S)$. Hình chiếu của $I(-2;-1)$ lên đường thẳng $y=3$ là $H(-2;3)\in T$ với $IH=4$, nên $\min |w-z_1|=IH-R=4-3=1$ và khi đó $|w-z_2|=IH+R=4+3=7$. Vậy $P=1\cdot 7=7$. Chọn đáp án A.

Đường thẳng $d\perp (P)$ tại $K(8;3;9)$. Điểm $M$ thuộc đường tròn giao tuyến $(C)$ của mặt cầu đường kính $AB$ (tâm $I(1;1;1)$, bán kính $R=3\sqrt{5}$) và mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ $M$ đến $d$ là $MK$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $M(6;-1;5)$, thuộc mặt phẳng $x+y-z=0$. Chọn đáp án C.

Đáp án: 2,71. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 1079; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)