Cho $f(x),g(x)$ là hai hàm số xác định và liên tục trên tập $K$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Khi đó, $\sin (\Delta ,(P))$ bằng

Cho hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+d=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):3x-y+2z+5=0$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng đi qua điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ thì có phương trình tham số là:

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $M(4;5;6)$ và có một vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;3)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z+5=0$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x+\frac{1}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=2$, $x=4$ quanh trục hoành bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x-\cos x$ và thỏa mãn $F(\pi )=1$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;-1;3)$, $B(a;b;1)$, mặt phẳng $(P):2x-y+3z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+3}{1}$. Khi đó, để đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A, B đồng thời $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$, song song với mặt phẳng $(P)$ thì $a-b$ bằng bao nhiêu?

Sân khấu của một chương trình biểu diễn nghệ thuật như hình vẽ dưới đây. Mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng nghiêng về phía khán giả. Biết $AB,AD,AH$ đôi một vuông góc nhau và $AB=8m$, $AD=10m$, $AH=1m$. Gọi C là điểm sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng đi qua 3 điểm $B,C,H$. Tại điểm $D$, người ta dựng một cột thẳng đứng $DE$ vuông góc với mặt đất, có chiều cao $10m$. Trong một buổi biểu diễn nghệ thuật, một nghệ sĩ ngồi trên ghế treo được gắn vào dây cáp thẳng nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ và trượt dọc theo sợi dây này. Khi ghế di chuyển được $\frac{3}{4}$ quãng đường từ $B$ đến $E$ thì dừng lại tại điểm $M$. Hãy tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt sân khấu (kết quả tính làm tròn đến hàng phần mười của đơn vị mét).

(1 điểm)

a) Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x^3-1\right)\mathrm{d}x$.

b) Trong không gian $(Oxyz)$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(-2;1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2;1)$.

(1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=(x-2{)}^2-1$ và $y=x-3$.

(1 điểm) Trong một công viên nước, người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 1 mét) để mô tả các vật thể trong không gian.

Một vòi phun nước được đặt tại điểm $A(-3;1;2)$, phun tia nước theo hướng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$. Biết rằng tia nước được xem như chuyển động theo một đường thẳng. Để phục vụ trình diễn, phía trước vòi phun có một màn nước dạng phẳng (được xem như một mặt phẳng) được mô tả bởi phương trình $(\alpha ):x-2y+3z-19=0$. Gọi $P$ là điểm tia nước chạm vào màn nước. Hãy tính khoảng cách từ điểm đặt vòi phun đến điểm tia nước chạm vào màn nước (kết quả tính được làm tròn đến hàng phần mười của mét).