Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;2)$ và $B(2;4;5)$. Biết vectơ $\vec{u}=(1;b;c)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Khi đó giá trị của $c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3+2t,(t\in \mathbb{R})\\ z=4-7t\end{array}$. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d$, $d^{\prime }$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\vec{u}=(a;b;c)$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime })$. Côsin của góc giữa $d$ và $d^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I(a,b,c)$, bán kính $R$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tổng quát của mặt phẳng $(Oxz)$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ là

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}$ $(x\ne 0)$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;2)$ và hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$, $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bạn An nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm trong hình 7) cho một cơ sở y tế. Logo là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là dm). Bạn An cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Biết diện tích của logo là $a(d{m}^2)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau có phương trình là $x+ay+bz+c=0$. Tìm giá trị của $c$.

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(1;2;3)$ đến vị trí $B(8;8;0)$. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy)$) bằng ${\alpha }^o$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu?

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3^x-2{)}^{2}dx$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm ba $A(1;0;0),B(0;2;0),C(1;1;2)$. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $C$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

Trong khối pha lê hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $8cm$ có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng $1cm$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, đỉnh $B$ thuộc tia $Ox$, đỉnh $D$ thuộc tia $Oy$, đỉnh $A^{\prime }$ thuộc tia $Oz$. Hãy viết phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương nói trên.