Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x-\cos x$ và thỏa mãn $F(\pi )=1$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thoả mãn $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(x)=\{\begin{array}{l}x+m,x\ge 0\\ e^{2x},x<0\end{array}$ ( $m$ là hằng số). Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}\sin x+2\text{ khi }x\ge 0\\ 2{\cos }^2\frac{x}{2}\text{ khi }x<0\end{array}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt\left({\mathrm{m}}^3/s\right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu $f(t)$ là tổng số lượng vi sinh vật sau $t$ giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ (con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Khi được thả từ độ cao 20 m một vật rơi với gia tốc không đổi $a=10m/{\mathrm{s}}^2$. Sau khi rơi được $t$ giây thì vật có tốc độ bao nhiêu?