Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $-4x^2-5x+10=3x^2+2x-7\iff 7x^2+7x-17=0\iff x=\frac{-7\pm 5\sqrt{21}}{14}$. Kiểm tra điều kiện $-4x^2-5x+10\ge 0$: với $x=\frac{-7+5\sqrt{21}}{14}\approx 1,1365$ thì $-4x^2-5x+10\approx -0,85<0$ (loại); với $x=\frac{-7-5\sqrt{21}}{14}\approx -2,1365$ thì $-4x^2-5x+10\approx 2,42>0$ (thỏa). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff -x^2-7x-6=0\iff x^2+7x+6=0\iff x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4x-5\ge 0$ (tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$): với $x=-1$, hai vế đều bằng 0; với $x=-6$, hai vế đều bằng $\sqrt{55}$. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$, tổng bằng $-7$.
a) Sai: bình phương hai vế và chuyển vế được $-x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) Sai: với $x=1$ thì $x^2-4x-5=-8<0$, không thỏa mãn điều kiện (và $1$ không phải nghiệm của $x^2+7x+6=0$).
c) Đúng: tổng các nghiệm $-1+(-6)=-7$.
d) Sai: phương trình chỉ có 2 nghiệm, không nhiều hơn 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff -x^2-7x-6=0$, không phải $-x^2+7x-6=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$: $x^2-4x-5=-8<0$ nên không thỏa mãn điều kiện có nghĩa; $x=1$ không là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $x^2+7x+6=0$ với nghiệm $x=-1,x=-6$ (đều thỏa điều kiện), tổng bằng $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là $x=-1$ và $x=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0\iff x=-1$ hoặc $x=-6$. Kiểm tra điều kiện: tại $x=-1$, hai vế đều bằng $0$; tại $x=-6$, hai vế đều bằng $\sqrt{55}$. Vậy cả hai giá trị đều thỏa mãn. a) Sai vì phương trình sau khi chuyển về là $x^2+7x+6=0$ chứ không phải $x^2+7x+5=0$. b) Đúng, $x=-1$ là nghiệm. c) Sai, tổng các nghiệm là $-1+(-6)=-7$. d) Đúng, phương trình có 2 nghiệm nên nhiều hơn 1 nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $x^2-4x-5=2x^2+3x+1\iff x^2+7x+6=0$, không phải $x^2+7x+5=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1$: hai vế đều bằng $\sqrt{0}=0$, nên $x=-1$ là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$ (cả hai đều thỏa điều kiện), tổng bằng $-7\ne -5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có 2 nghiệm là $x=-1$ và $x=-6$, nên có nhiều hơn 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{-4x^2-5x+10}=\sqrt{3x^2+2x-7}$ tương đương với $-4x^2-5x+10=3x^2+2x-7\ge 0$, tức $7x^2+7x-17=0$ và $3x^2+2x-7\ge 0$. Giải: $x=\frac{-7\pm \sqrt{525}}{14}=\frac{-7\pm 5\sqrt{21}}{14}$, suy ra $x_1\approx 1,1366$ và $x_2\approx -2,1366$. Nghiệm của $3x^2+2x-7=0$ là $x=\frac{-1\pm \sqrt{22}}{3}$, nên điều kiện là $x\le \frac{-1-\sqrt{22}}{3}\approx -1,897$ hoặc $x\ge \frac{-1+\sqrt{22}}{3}\approx 1,230$. Với $x_1\approx 1,137$: vì $1,137<1,230$ nên $x_1$ không thỏa điều kiện, bị loại. Với $x_2\approx -2,137$: vì $-2,137\le -1,897$ nên $x_2$ thỏa $3x^2+2x-7\ge 0$, là nghiệm hợp lệ. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-3x+2\ge 0$ và $x-1\ge 0$, tức $x\ge 1$. Bình phương hai vế: $x^2-3x+2=x-1\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0$, nên $x=1$ hoặc $x=3$, đều thỏa điều kiện. Kiểm tra: $x=1$: $\sqrt{0}=\sqrt{0}$ đúng; $x=3$: $\sqrt{2}=\sqrt{2}$ đúng. Tổng các nghiệm $=1+3=4$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-3\ge 0\iff x\ge \frac{3}{2}$. Phương trình $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{2x-3}$ bình phương hai vế: $x^2-5x+4=2x-3\iff x^2-7x+7=0$. Hai nghiệm là $x=\frac{7\pm \sqrt{21}}{2}$. Kiểm tra điều kiện: $\frac{7-\sqrt{21}}{2}\approx 1,21<\frac{3}{2}$ bị loại; $\frac{7+\sqrt{21}}{2}\approx 5,79$ thỏa mãn. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm $x=\frac{7+\sqrt{21}}{2}$, tổng các nghiệm bằng $\frac{7+\sqrt{21}}{2}$. Khớp đáp án B.

Bình phương hai vế ta được:

$$4x^2+5x+7=x+15$$
$$\iff 4x^2+4x-8=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$$

Thử lại ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,x=-2$.

(Điểm: 0,75 + 0,25)

Bình phương hai vế ta được:

$$4x^2-x+1=x+3$$
$$\iff 4x^2-2x-2=0$$
$$\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Thử lại ta thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,x=-\frac{1}{2}$.

(Điểm: 0,75 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2-x\ge 0\iff x\le 2$. Bình phương hai vế: $x^2+2x+4=2-x\iff x^2+3x+2=0\iff (x+1)(x+2)=0\iff x=-1$ hoặc $x=-2$ (đều thỏa điều kiện). Tổng các nghiệm: $-1+(-2)=-3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $x+3\ge 0$. Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Kiểm tra: $x=0$ không phải số nguyên dương; $x=5$ thỏa mãn ($\sqrt{25-20+3}=\sqrt{8}=\sqrt{5+3}$). Vậy có đúng 1 nghiệm nguyên dương, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-4x+3\ge 0$ và $x+3\ge 0$, tức $x\ge 3$ (kết hợp $x\ge 1$ hoặc $x\le 3$ với $x\ge -3$ cho $x\ge 3$... thực tế điều kiện đủ là $x\ge 3$). Bình phương hai vế: $x^2-4x+3=x+3\iff x^2-5x=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Với $x=0$: không thỏa điều kiện $x\ge 3$, loại. Với $x=5$: $\sqrt{25-20+3}=\sqrt{8}=\sqrt{5+3}$, thỏa. Vậy chỉ có 1 nghiệm nguyên dương là $x=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: với $x=1$ thì $x^2-4=-3<0$ (loại); với $x=-4$ thì $x^2-4=12>0$ và $2x^2+3x-8=32-12-8=12>0$, thỏa mãn. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $2x^2+3x-8=x^2-4\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$. Kiểm tra điều kiện $x^2-4\ge 0$: với $x=1$ thì $x^2-4=-3<0$ (loại); với $x=-4$ thì $x^2-4=12>0$, thỏa mãn (kiểm tra lại: $2(16)+3(-4)-8=12=x^2-4$). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế (các biểu thức trong căn đều dương với mọi x nên điều kiện luôn thỏa): $2x^2+x+1=x^2+x+2\iff x^2=1\iff x=\pm 1$. Thử lại: với $x=1$, hai vế bằng $\sqrt{4}=\sqrt{4}$; với $x=-1$, hai vế bằng $\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Vậy phương trình có 2 nghiệm, đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-4\ge 0\iff x\ge 4$. Bình phương hai vế: $x^2-4x+2=x-4\iff x^2-5x+6=0\iff x=2$ hoặc $x=3$. Cả hai nghiệm đều không thỏa $x\ge 4$, nên phương trình vô nghiệm. Vậy số nghiệm thực là 0, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^3-3x^2+2x+1\ge 0$. Khai triển vế phải: $(2x+1{)}^3+x^3-4x-1=(8x^3+12x^2+6x+1)+x^3-4x-1=9x^3+12x^2+2x$. Bình phương hai vế (cả hai vế không âm khi điều kiện thoả mãn): $9(x^3-3x^2+2x+1)=9x^3+12x^2+2x$. Rút gọn: $-39x^2+16x+9=0\iff 39x^2-16x-9=0$. Biệt thức $\Delta =256+4\cdot 39\cdot 9=1660$, $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{415}$. Vậy $x=\frac{16\pm 2\sqrt{415}}{78}=\frac{8\pm \sqrt{415}}{39}$. Kiểm tra điều kiện: với $x_1=\frac{8+\sqrt{415}}{39}\approx 0,7275$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 1,252>0$; với $x_2=\frac{8-\sqrt{415}}{39}\approx -0,3172$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 0,032>0$. Cả hai nghiệm thoả mãn. Kết luận: $S=\left\{\frac{8-\sqrt{415}}{39};\frac{8+\sqrt{415}}{39}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $3x-5\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{5}{3}$ và $(x-3{)}^2(5-3x)\ge 0$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ nên cần $5-3x\ge 0\Rightarrow x\le \frac{5}{3}$. Kết hợp hai điều kiện suy ra $x=\frac{5}{3}$. Thử lại: vế trái $=\sqrt{0}+2\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{3}$, vế phải $=\sqrt{0}+4=4=\frac{12}{3}$. Vì $\frac{10}{3}\ne 4$ nên $x=\frac{5}{3}$ không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm, có 0 nghiệm.

a) Điều kiện xác định: $x\ge 3$. Để ý $x\ge 3$ không thoả mãn, xét $x>3$, đặt
$$f(x)=\sqrt{(x-3)(x+5)}+\sqrt{x-3}+\sqrt{x+5},g(x)=\frac{10-x}{2}+\sqrt{x+12}.$$
Với $x>3$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x+1}{\sqrt{(x-3)(x+5)}}+\frac{1}{2\sqrt{x-3}}+\frac{1}{2\sqrt{x+5}}>0$ nên $f$ đồng biến trên $(3,+\infty )$.
Hơn nữa $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+12}}-1\right)<0$ nên $g$ nghịch biến trên $(3,+\infty )$.
Vì vậy phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm trên $(3,+\infty )$.
Để ý $f(4)=g(4)$ nên $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Phương trình thứ nhất tương đương $x^3-x^2+x-1=y(x^2+1)$ hay $(x-1)(x^2+1)=y(x^2+1)$.
Do $x^2+1>0$, ta được $y=x-1$. Thay vào phương trình thứ hai, ta có
$$6\sqrt{x+2}=3x^2-x+2(x\ge -2)$$
Đặt $t=\sqrt{x+2}\ge 0$, tức là $x=t^2-2$. Phương trình trở thành
$$3t^4-13t^2-6t+16=0$$
hay $(t-1)(t-2)(3t^2+9t+8)=0$. Vì $3t^2+9t+8>0$ với $t\ge 0$, nên $t=1$ hoặc $t=2$.
Thử lại để suy ra tất cả các nghiệm cần tìm là:
$$(x,y)=(-1,-2)\text{hoặc}(x,y)=(2,1).$$

Điều kiện xác định: $x\ge 0$, $y\ge 5$.
Từ phương trình thứ nhất, ta có $x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}$.
Bình phương hai vế, ta được $(x+y{)}^2-9(x+y)+18=18\sqrt{(y-5)(x+3)}\ge 0$.
Do đó $(x+y-3)(x+y-6)\ge 0$.
Mặt khác $x+y\ge 5$, nên $x+y-3>0$. Suy ra $x+y\ge 6$.
Phương trình thứ hai được viết lại thành $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}$, ta sẽ chứng minh $x=y$.

Giả sử $x>y$. Vì $y>0$ nên $\sqrt{xy}>y$. Do đó $0\le \sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}<y$.
Bình phương hai vế, ta có $x^2-6x+6y<y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)<0$.
Điều này vô lý vì $x-y>0$ và $x+y-6\ge 0$.

Giả sử $x<y$. Khi đó $\sqrt{xy}<y$, nên $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}>y>0$.
Bình phương hai vế, ta được $x^2-6x+6y>y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)>0$.
Nhưng $x-y<0$ và $x+y-6\ge 0$, mâu thuẫn.

Vậy $x=y$ và thay vào phương trình thứ nhất, ta có $2x=3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}$, và theo Cauchy thì
$$3\sqrt{x-5}=3\sqrt{1\cdot (x-5)}\le \frac{3x-12}{2},3\sqrt{x+3}=\sqrt{9\cdot (x+3)}\le \frac{x+12}{2}$$
Suy ra $3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}\le 2x$, do đó dấu bằng xảy ra nên $x=6$.
Thử lại để thấy được nghiệm duy nhất của hệ là $x=y=6$.

Phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x^2-2x-m-1=2x-1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x^2-4x-m=0(1)\end{array}$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_2>x_1\ge \frac{1}{2}$, tương đương với: $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=4+m>0\\ x_1+x_2=4>1\\ (x_1-\frac{1}{2})(x_2-\frac{1}{2})\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ x_1{x}_2-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ -m-2+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺-4<m\le -\frac{7}{4}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2\}$, có đúng 2 giá trị nguyên.