Đề Thi Học Sinh Giỏi vòng II các môn văn hóa cấp THPT 2026 - Môn Toán - Buổi thi thứ nhất (Ngày 1)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $$\{\begin{array}{l}x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}\\ \sqrt{x^2+6(y-x)}+2\sqrt{xy}=3y\end{array}.$$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left((f(x){)}^2+y^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$ và không vuông góc nhau, đồng thời hai đường chéo không vuông góc với các cạnh của tứ giác. Gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là các đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với các đường thẳng $AB$, $AD$, $BC$. Trên đường thẳng $d_1$ lấy một điểm $G$ di động. Đường thẳng $GA$ cắt $d_2$ tại $F$ sao cho điểm $A$ nằm giữa $G$ và $F$, đường thẳng $GB$ cắt $d_3$ tại $H$ sao cho điểm $B$ nằm giữa $G$ và $H$.
a) Gọi $K,L$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $OAD$ và $OBC$. Gọi $(C_1),(C_2)$ lần lượt là đường tròn đường kính $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ chính là trục đẳng phương $\Delta$ của hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$.
b) Chứng minh khi $G$ thay đổi, đường thẳng $FH$ luôn đi qua một điểm cố định hoặc luôn song song với một đường thẳng cố định.

Trên bảng được viết 2026 số nguyên. Mỗi bước, giáo viên cho phép học sinh thực hiện thao tác như sau: Chọn ra hai số $a$ và $b$ bất kỳ trên bảng thoả mãn điều kiện khoảng cách giữa chúng lớn hơn 70 (tức là $|a-b|>70$), sau đó xoá hai số này đi và viết lên bảng hai số nguyên mới là $\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor$ và $\lceil \frac{a+b}{2}\rceil$.
(Trong đó, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$; và $\lceil x\rceil$ là phần trần của $x$, tức là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$).
a) Chứng minh sau một số hữu hạn bước, quá trình trên phải dừng lại (tức là không thể tìm được cặp số $a,b$ nào thoả mãn điều kiện $|a-b|>70$).
b) Giả sử quá trình đã dừng lại. Chứng minh trên bảng luôn tồn tại ít nhất 29 số có giá trị bằng nhau.