Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sqrt{x^2-2x-m-1}=\sqrt{2x-1}$ có hai nghiệm phân biệt là

Phương trình tương đương với: $\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x^2-2x-m-1=2x-1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x^2-4x-m=0(1)\end{array}$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_2>x_1\ge \frac{1}{2}$, tương đương với: $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=4+m>0\\ x_1+x_2=4>1\\ (x_1-\frac{1}{2})(x_2-\frac{1}{2})\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ x_1{x}_2-\frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>-4\\ -m-2+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}⟺-4<m\le -\frac{7}{4}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2\}$, có đúng 2 giá trị nguyên.